真不连续等距同构群作用下度量空间的商空间度量良定性问询

嘿，咱们先把这个问题的基础设定梳理清楚：
设$(X,d)$是一个度量空间，$G$是$X$上的等距同构群。另外，我们要求$G$满足真不连续的条件——具体来说就是：对$X$中的每一个点$x$，都存在一个以$x$为中心的邻域$B = B(x,r) = {y \in X \mid d(x,y) < r}$，使得$G$里所有等距同构把$B$映射后的像都是两两不交的；换句话说，对任意两个不同的$g, h \in G$，都有$g(B) \cap h(B) = \varnothing$。

我们把点$x$在$G$作用下的轨道记作$[x]$，也就是$[x] = {g(x) \mid g \in G}$。（注：原文中关于商集的后续描述未完整给出，先整理已提供的核心设定部分）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ondřej Karbaš