关于万有覆盖ℝ→S¹对应的主ℤ-丛的相伴向量丛的问询

大家好，我有个问题想跟大家探讨：

我们都知道一个公认的结论：给定一个主$G$-丛（其中$G$是$\text{GL}(r,\mathbb{R})$的Lie子群）
$$\pi_P:P\to X$$
可以构造出一个相伴向量丛
$$\pi_E:E(P):=(P\times \mathbb{R}^r)/G\to X,\ \ \ [p,v]\mapsto\pi_P(p),$$
这个向量丛的纤维是$\mathbb{R}^r$。

现在我在思考一个具体的例子：如果我们取由万有覆盖给出的$\mathbb{Z}$-主丛
$$p:\mathbb{R}\to S^1,\ \ \ x\mapsto e^{2\pi ix},$$
（这里我把$\mathbb{Z}$通过表示$z\in \mathbb{Z}\mapsto e^z$看作$\text{GL}(1,\mathbb{R})$的子群），那这个主丛对应的相伴向量丛会是什么样的呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kandinskij