非空集合族交运算包含关系的证明问题

我最近在尝试证明Dan Velleman的《How to Prove It》（第122页）里的这个命题：

假设$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$是非空集合族。证明如果$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$，那么$\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}$。

我的尝试过程 #

假设$x \in \bigcap \mathcal{G}$，即$\forall A \in \mathcal{G} \space x \in A$。同时假设$x \notin \bigcap \mathcal{F}$，即$\exists B \in \mathcal{F} \space \text{s.t.} \space x \notin B$。由于$x \notin B$但$\forall A \in \mathcal{G} \space x \in A $，可以推出（注：此处内容截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riccardo Iorio