带权内积下正交函数显式公式的技术咨询

嗨，我最近在研究带权内积下的正交函数，这个内积的定义是：
$$\int_a^b f(x)g(x) \alpha(x) dx$$
这里的$\alpha(x)$是一个非负函数。

现在我手头有一组线性无关的函数$f_0, \ldots, f_\ell$，打算对它们做正交化处理，得到对应的正交函数$\phi_k$。我偶然看到有这样一个显式表示公式：
$$\phi_n(x) = (D_{n-1}D_n)^{-1/2} D_n(x)$$
这里面的符号我先说明一下：

• $D_n$是Gram行列式，也就是由前$n+1$个函数两两的内积构成的行列式，具体写出来就是$D_n = \left|(f_i, f_j)_{0 \leq i,j \leq n}\right|$；
• $D_n(x)$是一个包含变量$x$的行列式，定义如下：
  $$D_n(x) := \left|
  \begin{array}{cccc}
  (f_0,f_0) & (f_0,f_1) & \cdots & (f_0,f_n) \
  (f_1,f_0) & (f_1,f_1) & \cdots & (f_1,f_n) \
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
  (f_{n-1}, f_0) & (f_{n-1}, f_1) & \cdots & (f_{n-1}, f_n) \
  f_0(x) & f_1(x) & \cdots & f_n(x)
  \end{array}
  \right|$$

我对这个公式挺感兴趣的，但还有些地方没弄明白，想请教一下社区里的各位大佬：

• 这个显式表达式是怎么从标准的Gram-Schmidt正交化过程推导出来的呀？
• 如果我们处理的是多项式函数族（比如构造正交多项式），这个公式和平时常见的递推公式有什么关联吗？
• 有没有什么需要特别注意的场景？比如当Gram行列式接近奇异的时候，这个公式的数值稳定性会不会出问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wirdspan