从简单椭圆到单位圆盘的双全纯映射的简单参数化

咱们先把涉及的两个复平面区域定义清楚：

• 设$D = { z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 }$，这是复平面上的开单位圆盘。
• 设$E_r= { z \in \mathbb{C} \mid \left(\frac{\Re{z}}{r}\right)^2 + (\Im{z})^2 < 1 }$，这是复平面上以原点为中心的开轴对齐椭圆，其中长半轴$r>0$。

问题 #

有没有办法简单参数化所有从$E_r$到$D$的双全纯映射（也就是双射共形映射）？

已知结论（黎曼映射定理） #

因为$D$和$E_r$都是非空的单连通开区域，根据黎曼映射定理，我们可以得到两个关键结论：

• 不管$r>0$取什么值，这样的双全纯映射一定存在；
• 对于任意给定的$\alpha \in D$和$\theta \in [0, 2\pi)$，存在唯一的双全纯映射$f: E_r \to D$，满足$f(0) = \alpha$，并且$f'(0)$的辐角为$\theta$（即$\arg f'(0) = \theta$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ylvain