关于证明ℒ^{p₁}(ℕ,𝒜,μ)⊆ℒ^{p₂}(ℕ,𝒜,μ)的问题求助

大家好，我最近在做实分析的证明题时遇到了瓶颈，想请各位大佬帮忙指点一下！

我需要证明的命题是：

假设$1\leq p_1<p_2<+\infty$，$\mu$是自然数集$\mathbb{N}$的幂集$\sigma$-代数$\mathscr{A}$上的计数测度，证明$\mathscr{L}^{{p_1}(\mathbb{N},\mathscr{A},\mu)\subseteq\mathscr{L}}{p_2}(\mathbb{N},\mathscr{A},\mu)$。

我的疑问： #

• 我自己尝试推导了一部分，但卡在了中间步骤（下面是我的尝试过程），不确定前面的步骤是否正确，希望有人能帮我检查一下，再教教我该怎么继续往下走。
• 另外，我想知道有没有更简洁的证明方法，麻烦大家了！

我的尝试过程： #

我先取任意$f\in\mathscr{L}^{{p_1}(\mathbb{N},\mathscr{A},\mu)$，根据$L}p$空间的定义，这意味着$\sum_{n\in\mathbb{N}} |f(n)|^{p_1} < +\infty$。我原本想接着推导$\sum_{n\in\mathbb{N}} |f(n)|^{p_2} < +\infty$，但写到这里就卡住了，不知道该怎么利用已知条件完成后续的推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Beerus