n边形中无公共边的三角形数量计算的推导疑问

我最近在解决这么一个问题：给定一个n边形（n>2），连接它的顶点能组成多少个完全不包含多边形任何一条边的三角形？

最开始我的思路是：先算出从n个顶点中选3个能组成的总三角形数，再减去那些至少有一条边是多边形边的三角形数量，于是写出了这个公式：
$$
\binom{n}{3}-n\cdot2\cdot(n-2)
$$
但当我把n=6代入的时候，得到的结果和实际正确数量不符——我预期的结果是2，可这个公式算出来的不是。

之后我换了个思路，把要减去的部分拆成两类：一类是有两条边都是多边形边的三角形，另一类是只有一条边是多边形边的三角形。然后写出了这个公式：
$$
\binom{n}{3}-n-\frac{2n(n-4)}{3!}
$$
可代入n=6的时候还是不对，直到我把分母的3!改成2!之后，不管是n=5还是n=6，都得到了符合预期的结果，而且这个修正后的公式和我看到的标准答案一致。不过我还是不太明白中间的推导问题出在哪...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SpectralTheoryFan