求解μ'-μ关于a'-a和b'-b的紧下界

咱们来一步步拆解这个问题，先明确已知条件：

已知$a,a',b,b', \alpha \in [0,1]$（注意$\alpha=0$或$\alpha=1$时分母为0，实际有效范围是$\alpha \in (0,1)$），且：

$$\mu = \frac{1+ 2 (1-2 \alpha) a +\sqrt{4 a (a - 2 \alpha +1) - 8 (1- \alpha)b +1}}{4 \alpha(1 - \alpha)} $$
$$\mu' = \frac{1+ 2 (1-2 \alpha) a' +\sqrt{4 a' (a' - 2 \alpha +1) - 8 (1- \alpha)b' +1}}{4 \alpha(1 - \alpha)} $$

首先，我们把$\mu' - \mu$拆分展开，利用有理化技巧处理根号的差：

$$
\begin{align*}
\mu' - \mu &= \frac{(1-2\alpha)}{2\alpha(1-\alpha)}(a'-a) + \frac{\sqrt{X'} - \sqrt{X}}{4\alpha(1-\alpha)} \
&= \frac{(1-2\alpha)}{2\alpha(1-\alpha)}\Delta a + \frac{X' - X}{4\alpha(1-\alpha)(\sqrt{X'}+\sqrt{X})}
\end{align*}
$$

其中$\Delta a = a'-a$，$\Delta b = b'-b$，$X=4a(a-2\alpha+1)-8(1-\alpha)b+1$，$X'=4a'(a'-2\alpha+1)-8(1-\alpha)b'+1$，计算$X'-X$得：

$$X' - X =4\Delta a(a+a'+1-2\alpha) -8(1-\alpha)\Delta b$$

代入后化简可得：

$$
\mu' - \mu = \frac{(1-2\alpha)\Delta a}{2\alpha(1-\alpha)} + \frac{\Delta a(a+a'+1-2\alpha)-2(1-\alpha)\Delta b}{\alpha(1-\alpha)(\sqrt{X'}+\sqrt{X})}
$$

要找$\mu' - \mu$的紧下界，本质就是找到$\mu'$的最小值与$\mu$的最大值的差（因为此时两者的差值最小），我们分别计算$\mu(a,b)$的最大值和最小值：

1. $\mu(a,b)$的最大值 #

$\mu(a,b)$随$a$增大而增大、随$b$减小而增大，因此取$a=1$，$b=0$时$\mu$取得最大值：
$$
\mu_{\text{max}} = \frac{3-4\alpha + \sqrt{9-8\alpha}}{4\alpha(1-\alpha)}
$$
此时根号内的$X=9-8\alpha>0$，符合定义域要求。

2. $\mu(a,b)$的最小值 #

$\mu(a,b)$的最小值分两种情况：

• 当$\alpha \in (0, 7/8)$时，取$a'=0$，$b'=\frac{1}{8(1-\alpha)}$（此时$X'=0$，根号项为0），$\mu$取得最小值：
  $$
  \mu_{\text{min}} = \frac{1}{4\alpha(1-\alpha)}
  $$
• 当$\alpha \in [7/8, 1)$时，$b'=1$时$X'=8\alpha-7\geq0$，取$a'=0$，$b'=1$，$\mu$取得最小值：
  $$
  \mu_{\text{min}} = \frac{1+\sqrt{8\alpha-7}}{4\alpha(1-\alpha)}
  $$

3. 最终紧下界 #

结合最大值和最小值，得到$\mu' - \mu$的紧下界：

• 当$\boldsymbol{\alpha \in (0, 7/8)}$时：
  $$
  \mu' - \mu \geq \frac{4\alpha -2 - \sqrt{9-8\alpha}}{4\alpha(1-\alpha)}
  $$
  等号在$a=1, b=0, a'=0, b'=\frac{1}{8(1-\alpha)}$时取到；
• 当$\boldsymbol{\alpha \in [7/8, 1)}$时：
  $$
  \mu' - \mu \geq \frac{4\alpha -2 + \sqrt{8\alpha-7} - \sqrt{9-8\alpha}}{4\alpha(1-\alpha)}
  $$
  等号在$a=1, b=0, a'=0, b'=1$时取到。

如果要写成关于$\Delta a$和$\Delta b$的形式，对应等号成立的情况：

• 对于$\alpha \in (0,7/8)$，$\Delta a=-1$，$\Delta b=\frac{1}{8(1-\alpha)}$，代入后可将下界表示为$\Delta a$和$\Delta b$的组合；
• 对于$\alpha \in [7/8,1)$，$\Delta a=-1$，$\Delta b=1$，同样可代入得到对应表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Guesttilunderstandingnature