请求协助证明n>2时ℝ₁ⁿ与ℝ_∞ⁿ不等距（出自《度量几何教程》习题1.2.14(b)）

嘿，你选反证法的思路完全没问题，只是需要从两个空间里点集的距离结构差异入手，而不是只盯着单个点的映射关系~ 我来帮你捋清楚关键的矛盾点：

首先先明确两个空间的度量定义：

• ℝ₁ⁿ（曼哈顿/ℓ₁空间）的距离：d₁(x,y) = Σ|xᵢ - yᵢ|
• ℝ_∞ⁿ（切比雪夫/ℓ∞空间）的距离：d∞(x,y) = max|xᵢ - yᵢ|

核心矛盾：特殊点集的距离关系无法在等距映射下保持 #

我们在ℝ₁ⁿ里取一组点：原点0，加上n个标准基向量e₁=(1,0,...,0), e₂=(0,1,...,0), ..., eₙ=(0,...,0,1)，再取点v=(1,1,...,1)。先计算它们的距离：

• 每个eᵢ到原点的距离d₁(0,eᵢ)=1
• 任意两个不同的eᵢ和eⱼ之间的距离d₁(eᵢ,eⱼ)=2
• 点v到原点的距离d₁(0,v)=n，到每个eᵢ的距离d₁(eᵢ,v)=n-1

现在假设存在等距映射f:ℝ₁ⁿ→ℝ_∞ⁿ，那么映射后的点f(0), f(e₁),...,f(eₙ),f(v)必须满足完全一致的距离关系：

• d∞(f(0), f(eᵢ))=1 对所有i成立
• d∞(f(eᵢ), f(eⱼ))=2 对所有i≠j成立
• d∞(f(0),f(v))=n，且d∞(f(eᵢ),f(v))=n-1 对所有i成立

接下来我们就能找到矛盾了：
假设f(0)=C=(c₁,c₂,...,cₙ)，因为d∞(C,f(eᵢ))=1，所以每个f(eᵢ)的坐标都满足|f(eᵢ)_k - c_k| ≤1。而d∞(C,f(v))=n意味着f(v)至少有一个坐标和C的对应坐标相差n，比如假设f(v)_1 = c₁ + n（取正方向的情况，负方向同理）。

现在看f(e₁)的第一个坐标：它只能是c₁+1或c₁-1（因为|f(e₁)_1 -c₁| ≤1）。如果是c₁+1，那么|f(v)_1 - f(e₁)_1| = |c₁+n - (c₁+1)| = n-1，刚好满足d∞(f(e₁),f(v))=n-1；但再看其他f(eⱼ)（j≠1），比如f(e₂)的第一个坐标只能是c₁+1、c₁-1或c₁，那|f(v)_1 - f(e₂)_1|就会是n-1、n+1或n。当n>2时，n+1 >n-1，n>n-1，这就和d∞(f(e₂),f(v))=n-1的要求矛盾了！

反过来，如果f(e₁)的第一个坐标是c₁-1，那|f(v)_1 -f(e₁)_1|=n+1>n-1，直接违反距离要求。

这就说明，不存在这样的等距映射能同时满足所有点的距离关系，因此ℝ₁ⁿ和ℝ_∞ⁿ在n>2时不可能等距。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JetIndex