求解A、B数独对局中A取得3连胜时的期望对局数
首先明确问题：A和B玩数独，每局有三种等概率结果——A获胜（概率1/3）、平局（1/3）、B获胜（1/3）。我们需要计算A首次取得连续3场胜利时，总共进行的对局数的期望值。
你当前通过计算"x局内达成3连胜的概率f(x)"推导期望，最终得到166这个明显偏大的结果，问题出在f(x)的递推逻辑上：你假设x>6时可以用$(1-f(3))^{n-1}$表示前面未达成的概率，但这个假设不成立——前面的对局块不是独立的（比如前3局没达成3连胜，但第2-4局可能已经达成，导致后续情况无法按"重新从0开始"的独立条件递推）。
下面给出更清晰准确的状态转移法来求解：
状态定义
我们用几个状态表示当前A的连胜积累情况：
- E₀：当前A没有任何连胜（上一局是平局/B赢，或者刚开局），从这个状态到达成3连胜的期望对局数。
- E₁：当前A刚取得1场连胜，从这个状态到达成3连胜的期望对局数。
- E₂：当前A刚取得2场连胜，从这个状态到达成3连胜的期望对局数。
- E₃：已经达成3连胜，此时期望对局数为0（目标已完成）。
列状态转移方程
根据每局的三种结果，为每个状态列出方程：
对于E₀：
每局先进行1场比赛，然后：- 1/3概率A赢，进入E₁状态；
- 1/3概率平局，回到E₀状态；
- 1/3概率B赢，回到E₀状态。
方程为：
$$E_0 = 1 + \frac{1}{3}E_1 + \frac{1}{3}E_0 + \frac{1}{3}E_0$$
对于E₁：
先进行1场比赛，然后：- 1/3概率A赢，连胜积累到2场，进入E₂状态；
- 1/3概率平局，连胜中断回到E₀；
- 1/3概率B赢，连胜中断回到E₀。
方程为：
$$E_1 = 1 + \frac{1}{3}E_2 + \frac{1}{3}E_0 + \frac{1}{3}E_0$$
对于E₂：
进行1场比赛后：- 1/3概率A赢，达成3连胜，进入E₃（期望为0）；
- 1/3概率平局，连胜中断回到E₀；
- 1/3概率B赢，连胜中断回到E₀。
方程为：
$$E_2 = 1 + \frac{1}{3} \times 0 + \frac{1}{3}E_0 + \frac{1}{3}E_0$$
解方程
逐步化简求解：
处理E₀的方程：
$$E_0 = 1 + \frac{1}{3}E_1 + \frac{2}{3}E_0$$
移项后得到：
$$\frac{1}{3}E_0 = 1 + \frac{1}{3}E_1 \implies E_0 = 3 + E_1$$把E₀代入E₁的方程：
$$E_1 = 1 + \frac{1}{3}E_2 + \frac{2}{3}(3 + E_1)$$
展开化简：
$$E_1 = 1 + \frac{1}{3}E_2 + 2 + \frac{2}{3}E_1$$
$$\frac{1}{3}E_1 = 3 + \frac{1}{3}E_2 \implies E_1 = 9 + E_2$$把$E_0=3+E_1=12+E_2$代入E₂的方程：
$$E_2 = 1 + \frac{2}{3}(12 + E_2)$$
展开化简：
$$E_2 = 1 + 8 + \frac{2}{3}E_2$$
$$\frac{1}{3}E_2 = 9 \implies E_2 = 27$$回代得到：
$$E_1 = 9 + 27 = 36$$
$$E_0 = 3 + 36 = 39$$
结论
我们要求的初始状态（E₀）下的期望对局数为39，这个结果比你之前的计算合理得多。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hieu Vo Tran Minh
