有限生成群中商群的同构副本是否必为原群的子群？

首先直接给结论：这个陈述是错误的，我们可以通过具体反例来验证，同时也梳理下你提到的几个特殊情况的对错：

• 先纠正你一开始的小误解：你后来也意识到了，哪怕是循环群，这个结论也不成立。比如取无限循环群 $G=\mathbb{Z}$，正规子群 $N=2\mathbb{Z}$，商群 $G/N\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，但 $\mathbb{Z}$ 的所有子群要么是平凡子群，要么是无限循环子群，根本不存在2阶子群，所以这个商群的同构副本不在原群里。

• 关于你提到的“当 $N$ 是循环群时结论成立”：从多数例子来看确实是对的，比如取 $G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$，$N=\langle(1,1)\rangle$（循环正规子群），商群 $G/N\cong\mathbb{Z}$，而 $\langle(1,0)\rangle$ 就是 $G$ 里同构于 $\mathbb{Z}$ 的子群；再比如二面体群 $D_4$ 取中心循环子群作商，商群也能在原群里找到同构子群。不过这个结论是否对所有有限生成群都成立？其实目前我没找到反例，但这也只是特殊情况，不代表一般命题成立。

• 当 $N$ 非循环时，反例就很直观了：最经典的例子是秩为2的自由群 $G=F_2$（有限生成，非交换），取 $N$ 为 $G$ 的换位子群（这是个正规子群，而且非循环），此时商群 $G/N$ 是自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$。但自由群的所有子群都是自由群，而 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 不是自由群——它满足交换关系 $ab=ba$，而自由群没有任何非平凡的关系，因此 $G/N$ 不可能同构于 $G$ 的任何子群，这就直接推翻了原命题。

简单来说，有限生成群的商群不一定能在原群里找到同构的子群，自由群的这个例子就是最有力的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.G.131