$\mathbb{R}^3$中2-形式的霍奇星算子计算问题

嘿，咱们一步步来搞定这个霍奇星算子的计算！首先先明确霍奇星算子的定义：

如果$w$是$\mathbb{R}^n$中的$k$-形式，我们定义一个$n-k$-形式：
$$\ast(w)=\sum a_{i_1, \dots, i_k} \ast(dx_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k}})=\sum a_{i_1, \dots, i_k} (-1)^{\sigma}(dx_{j_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{j_{n-k}})$$
这里的$\sigma$取值0或1，取决于排列$(i_1, \dots, i_k, j_1, \dots, j_{n-k})$是偶排列还是奇排列（其中$i_1 < \cdots < i_k$，$j_1 < \cdots < j_{n-k}$）。

现在要计算的是：
$$\ast(a_{12}dx_{1} \wedge dx_{2}+a_{13}dx_{1} \wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3})$$
因为霍奇星算子是线性算子，所以我们可以把它拆成三个单独的项分别计算，再把结果加起来：
$$\ast(a_{12}dx_{1} \wedge dx_{2}) + \ast(a_{13}dx_{1} \wedge dx_{3}) + \ast(a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3})$$

接下来逐个计算每个基本2-形式的霍奇星：

• 计算$\ast(dx_1 \wedge dx_2)$：
  在$\mathbb{R}^3$中，$n=3$，$k=2$，所以$n-k=1$。这里$i_1=1, i_2=2$，剩下的唯一指标是$j_1=3$。排列$(1,2,3)$是偶排列，所以$\sigma=0$，符号为$(-1)^0=1$。因此：
  $$\ast(dx_1 \wedge dx_2) = dx_3$$

• 计算$\ast(dx_1 \wedge dx_3)$：
  这里$i_1=1, i_2=3$，剩下的指标是$j_1=2$。排列$(1,3,2)$是奇排列（只需要交换2和3一次），所以$\sigma=1$，符号为$(-1)^1=-1$。因此：
  $$\ast(dx_1 \wedge dx_3) = -dx_2$$

• 计算$\ast(dx_2 \wedge dx_3)$：
  这里$i_1=2, i_2=3$，剩下的指标是$j_1=1$。排列$(2,3,1)$是偶排列（需要两次交换：1和2交换，再和3交换），逆序数为2，所以$\sigma=0$，符号为$(-1)^0=1$。因此：
  $$\ast(dx_2 \wedge dx_3) = dx_1$$

最后把这三个结果代入原式，就能得到最终的计算结果：
$$\ast(a_{12}dx_{1} \wedge dx_{2}+a_{13}dx_{1} \wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3}) = a_{12}dx_3 - a_{13}dx_2 + a_{23}dx_1$$
如果按$dx_1, dx_2, dx_3$的顺序整理一下，就是：
$$= a_{23}dx_1 - a_{13}dx_2 + a_{12}dx_3$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wrlord