Edwards：将ξ(s)分离为实部与虚部
嘿，我来一步步给你拆解Edwards这里的操作，你疑惑的“为什么是乘积不是加法”是关键——他不是拆成实部加虚部，而是把复值函数拆成了「实数幅度因子」和「单位相位复数因子」的乘积，这是复分析里极常用的极坐标式拆分，和笛卡尔坐标的实部加虚部是两种不同的拆解思路，我给你对应每一步理清楚：
首先先明确核心前提：任何非零复数$z$都能写成$|z| \cdot e^{i \arg(z)}$——前者是正实数（模长/幅度），后者是模长为1的复数（对应相位，只含虚部相关的角度），Edwards就是把整个$\xi(1/2+it)$拆成了这两部分的乘积，对应两个括号。
我们代入$s=1/2+it$，逐个因子拆解：
1. 先处理$\frac{s(s-1)}{2}$这个项
计算这个纯实数的部分：
$$
s = \frac{1}{2}+it, \quad s-1 = -\frac{1}{2}+it
$$
相乘展开：
$$
s(s-1) = \left(\frac{1}{2}+it\right)\left(-\frac{1}{2}+it\right) = (it)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -t^2 - \frac{1}{4}
$$
所以$\frac{s(s-1)}{2} = \frac{-t^2 - \frac{1}{4}}{2}$，这是个纯实数，自然会被放进第一个（全实数的）括号里。
2. 再看$\pi^{-s/2}$这个指数项
把$s=1/2+it$代入指数：
$$
-\frac{s}{2} = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+it\right) = -\frac{1}{4} - i\frac{t}{2}
$$
根据指数的乘积性质，$\pi^{a+ib} = \pi^a \cdot \pi^{ib}$，所以：
$$
\pi^{-s/2} = \pi^{-1/4} \cdot \pi^{-it/2}
$$
- $\pi^{-1/4}$是正实数，放进第一个括号；
- $\pi^{-it/2} = e^{-i \frac{t}{2}\ln\pi}$是模长为1的复数（因为任何$a^{ib}$的模长都是1），放进第二个括号。
3. 然后是$\Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)$相关的项
首先，$e^{\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)} = \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)$（指数和对数抵消）。对于复对数，我们可以把它拆成实部和虚部：
$$
\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right) = \text{Re}\left[\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)\right] + i\text{Im}\left[\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)\right]
$$
再用指数的乘积性质展开：
$$
e^{\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)} = e^{\text{Re}\left[\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)\right]} \cdot e^{i\text{Im}\left[\ln \Pi\left(\frac{s}{2}-1\right)\right]}
$$
- 前半部分$e^{\text{Re}[\dots]}$是正实数（实数的指数还是实数），放进第一个括号；
- 后半部分$e^{i\text{Im}[\dots]}$是模长为1的复数，放进第二个括号。
4. 最后把所有因子归位
把上面拆出来的实因子全部乘到第一个括号里，把模长为1的复因子和$\zeta\left(\frac{1}{2}+it\right)$（本身是复值函数）乘到第二个括号里，就得到了Edwards写的两个括号的乘积形式。
再补一句你疑惑的点
你以为他是拆实部加虚部，但其实是用了复数的极坐标表示：复值函数的极坐标形式是幅度（实数）×单位相位复数，而不是笛卡尔坐标的实部+虚部。Edwards这么做是为了把$\xi$函数的“大小变化”和“相位旋转”分开研究，这在分析$\zeta$函数零点、$\xi$函数的增长性时特别有用。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者zeynel
