求解三角方程sinx+cosx=sin2x+cos2x时，遗漏解x=2kπ−π/2的来源疑问

背景 #

我最近碰到一道1907年维多利亚大学与学校考试委员会的高级三角学考题，自己试着解了一遍，但发现漏掉了一个解，怎么都搞不清楚这个解是从哪来的。

题目 #

求方程 $\sin{x}+\cos{x}=\sin{2x}+\cos{2x}$ 的所有解。

我的解法 #

我首先把方程移项整理成：
$\sin{2x}-\sin{x}+\cos{2x}-\cos{x}=0$

然后用三角恒等变换拆分各项，得到：
$2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{3x}{2}}-2\sin{\frac{3x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}=0$

提取公因式后，得到两种情况：

• $\sin{\frac{x}{2}}=0$
• $\tan{\frac{3x}{2}}=1$

根据这两种情况，我算出的解是：
$x=2k\pi,\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$（其中$k$为整数）

不过我发现还有一个解 $x=2k\pi-\frac{\pi}{2}$ 被我漏掉了，实在想不通这个解是怎么来的，有没有人能帮我看看问题出在哪？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Red Five