关于Sturmfels《不变量理论中的算法：希尔伯特级数与单项式理想》中定理1.2.7证明的两处疑问

这是关于Sturmfels《不变量理论中的算法》里定理1.2.7证明的疑问，我先把到困惑点为止的整个证明完整重述一遍：

符号定义 #

• 设 $\sigma_i(x_1, \ldots, x_n)$ 为第 $i$ 个初等对称多项式
• 设 $h_i(x_1, \ldots,x_n)$ 为第 $i$ 个完全对称多项式
• 设 $I$ 是多项式环 $\mathbb{C}[\overline{x}, \overline{y}] = \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]$ 中由 $\sigma_i(x_1, \ldots, x_n) - y_i$ 生成的理想

前置定理（无需证明） #

定理1.2.6：设 $I$ 是 $\mathbb{C}[\overline{x}]$ 的任意理想，固定任意单项式序，则标准单项式（即不在 $I$ 的初始理想 $\text{init}(I)$ 中的单项式）的剩余类构成 $\mathbb{C}[\overline{x}]/I$ 的一组 $\mathbb{C}$-向量空间基。

待证定理1.2.7内容 #

定理1.2.7：关于字典序 $x_1 > x_2 > \cdots > x_n > y_1 > y_2 > \cdots > y_n$，理想 $I$ 的唯一简约Gröbner基是：
$$G = \left{ h_k(x_k, \ldots, x_n) + \sum_{i = 1}^k (-1)^i h_{k - i}(x_k, \ldots, x_n) \cdot y_i \mid k = 1, \ldots, n \right}.$$

证明过程（到困惑点为止） #

证明：首先注意，对所有 $k = 1, \ldots, n$，有如下等式成立：
$$h_k(x_k, \ldots, x_n) + \sum_{i = 1}^k (-1)^i h_{k - i}(x_k, \ldots, x_n) \cdot \sigma_i(x_1, \ldots, x_n) = 0.$$
由此可直接推出 $G \subseteq I$。

接下来给多项式环 $\mathbb{C}[\overline{x}, \overline{y}]$ 赋予分次结构：令 $\deg(x_i) = 1$，$\deg(y_i) = i$。此时理想 $I$ 是齐次理想，且分次商代数 $R = \mathbb{C}[\overline{x}, \overline{y}]/I$ 与 $\mathbb{C}[\overline{x}]$ 作为分次代数同构。因此 $R$ 的希尔伯特级数为 $\frac{1}{(1 - z)^n}$。根据定理1.2.6，商代数 $\mathbb{C}[\overline{x}, \overline{y}]/\text{init}(I)$ 的希尔伯特级数同样是 $\frac{1}{(1 - z)^n}$。

现在考虑单项式理想 $J = \langle x_1, x_2^2, \ldots, x_n^n\rangle$，它恰好是Gröbner基 $G$ 的初始理想，即 $\text{init}(G) = J$。显然有 $J \subseteq \text{init}(I)$。（这就是我开始感到困惑的地方）

原文中提到："Our assertion states that these two ideals are equal. For the proof, it is sufficient to verify that the Hilbert series of $R' = \mathbb{C}[\overline{x}, \overline{y}]/J$ is equal to the Hilbert series of $R$."

我的疑问 #

1. 证明里说“Our assertion states that these two ideals are equal”，这里的“assertion”具体指的是什么？
2. 更关键的是，为什么验证 $R'$ 和 $R$ 的希尔伯特级数相等就足以证明 $J = \text{init}(I)$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anakin Dey