技术求助：从含奇数整数参数n的不等式中消去参数n，推导等价无n不等式

我最近在做数学推导时遇到了个难题，想请各位大佬帮忙消去不等式里的参数$n$（$n$是奇数整数），得到一个不含$n$的等价不等式。

原不等式如下：
$$\frac{c_1}{c_2-n \pi }\neq \frac{c_3}{-n \pi +c_4}\land \frac{1+n}{2}\in \mathbb{Z}$$

其中$c_1$、$c_2$、$c_3$、$c_4$均为实数，且满足以下约束条件：

• $\left(c_1>0\land c_3<0\right)\lor \left(c_1<0\land c_3>0\right)$
• $c_2\neq \pi n$，$c_4\neq \pi n$（这里的$n$和上述的奇数整数为同一个参数）

这个问题和之前碰到的一类推导思路比较相似，但我自己卡在了消去$n$的关键步骤上，恳请各位能指点一二，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mattTheMathLearner