关于勒贝格测度限制在ℝ的博雷尔σ-代数上不完备性的困惑

我刚接触测度论，最近对Donald Cohn的《Measure Theory》（1.5节 完备性与正则性）里的一个结论感到困惑：

Claim
勒贝格测度限制在$\mathbb{R}$的博雷尔子集构成的$\sigma$-代数上是不完备的。

在这篇帖子里，我用$\lambda^*$表示勒贝格外测度。

根据教材的定义：

Definition
将$\mathbb{R}$（或$\mathbb{R}^{d$）上的勒贝格外测度限制到$\mathcal{B}(\mathbb{R})$（或$\mathcal{B}(\mathbb{R}}d)$）上，得到的测度称为勒贝格测度，记为$\lambda$。
将$\mathbb{R}$（或$\mathbb{R}^{d$）上的勒贝格外测度限制到$\mathbb{R}$（或$\mathbb{R}}d$）的勒贝格可测子集族上，得到的测度也称为勒贝格测度，同样记为$\lambda$。

还有完备性的定义：

Definition
设$(X,\mathcal{A},\mu)$是测度空间。若当$A\in\mathcal{A}$，$\mu(A)=0$且$B \subseteq A$时，必有$B\in\mathcal{A}$，则称测度$\mu$（或测度空间$(X,\mathcal{A},\mu)$）是完备的。

我对这个结论的理解是这样的：

设$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda)$是测度空间。存在$\mathbb{R}$的博雷尔子集$A$满足$\lambda(A)=0$，且存在$A$的子集$B$使得$B \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$。

我看到过用Vitali集来证明这样的$B$确实存在，但对其中的解释完全摸不着头脑。设$V$是$[0,1]$中的Vitali集，我知道$V$关于勒贝格外测度$\lambda^*$不可测，所以$V \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$。我想我们需要找到一个集合$A$，满足$A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$，$\lambda(A)=0$，且$V \subseteq A$——但这个例子里的$A$到底是什么呢？

之前看到的那个例子里，似乎想说明Vitali集$V$在$\mathbb{R}^{2$中是勒贝格测度零集，且本身不是$\mathbb{R}}2$的博雷尔子集。但问题是，$V$连勒贝格可测都不是，那$\lambda(V)$根本就没定义啊？而且我也没看到例子里给出符合要求的$A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$，完全搞不懂这个例子怎么证明结论的。

我现在彻底懵了，真的希望有人能帮我理清这个问题，或者给我另一个更易懂的例子！

后来@LeeMosher指出，这个结论应该这样理解：

设$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda)$是测度空间。存在某个$\mathbb{R}$的博雷尔子集$A$满足$\lambda(A) = 0$，且存在$A$的子集$B$使得$B \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Beerus