二次域类数的显式上界相关技术问询

你好，针对你寻找二次域类数显式上界的需求，结合你提到的Littlewood的结果，我整理了一些相关的研究进展和方向：

首先，先明确你的核心诉求：要不含大O/小o符号、常数完全明确的类数上界，针对虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（$d$为基本判别式，$d \to -\infty$）。

你提到的Littlewood 1927年在广义黎曼假设（GRH）下的结果：
$$
h \leq 2(c+\mathrm{o}(1))|d|^{\frac{1}{2}} \log \log |d|, \quad c=e^\gamma / \pi
$$
这里的$\mathrm{o}(1)$项是可以被替换成明确常数项的，后续有不少学者在GRH框架下改进了这个结果，给出了完全显式的上界：

• 比如，有研究证明，在GRH成立时，存在一个明确的常数$C$（非常接近$2e^\gamma/\pi \approx 0.481$），以及一个明确的阈值$D_0$，当$|d| > D_0$时，有
  $$
  h \leq C |d|^{1/2} \log \log |d|
  $$
  具体的$C$和$D_0$可以在显式数论方向的论文中找到，部分研究给出了$C=0.5$这类保守但明确的常数，或者更接近$2e^\gamma/\pi$的精确值。
• 还有一些更细致的结果，会针对不同范围的$|d|$给出对应的显式界：对于较小的$|d|$直接计算类数，对于大$|d|$给出统一的显式不等式。

其次，关于不依赖GRH的显式上界：

• 经典的Minkowski上界是无条件成立的，形式为
  $$
  h \leq \frac{1}{\pi} \sqrt{|d|} \log |d|
  $$
  这个界虽然显式，但比Littlewood的结果宽松，因为它的增长项是$\log|d|$而非$\log\log|d|$。
• 后续也有学者改进了无条件显式上界，比如针对大$|d|$，可以得到形如
  $$
  h \leq K \sqrt{|d|} \log |d|
  $$
  的界，其中$K$是比$1/\pi$更小的明确常数，不过这类界仍然无法达到Littlewood结果的$\log\log|d|$增长阶。

如果你需要具体的、可直接引用的显式界，可以关注专注于“显式数论”的研究论文，这类成果通常会给出精确的常数和阈值，完全满足你对“显式”的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anonymous