关于包含多项式所有根的子域的四个等价条件证明的求助

大家好，我现在在处理域论中的一个等价性证明问题，目前卡在了部分步骤上，希望能得到大家的帮助。

先说明题目背景：
设 $f(x) \in F[x]$，$K / F$ 是一个域扩张，且 $K$ 包含 $f(x)$ 的所有根构成的集合 $R_f$。现在需要证明对于 $K$ 的子域 $D \leq K$，以下四个条件等价：

(a) $D$ 是集合 $\left{E \leq K \mid F \leq E, R_f \subseteq E\right}$ 的最小元（按集合包含关系）；
(b) $D$ 是集合 $\left{E \leq K \mid F \leq E, R_f \subseteq E\right}$ 的极小元（按集合包含关系）；
(c) $D=\bigcap\left{E \leq K \mid F \leq E, R_f \subseteq E\right}$；
(d) $D=F\left(R_f\right)$（由 $F$ 和 $R_f$ 生成的子域）。

我已经完成了部分推导：

1. (a) ⇒ (b)：
   假设 $D$ 是该集合的最小元，任取集合中的元素 $H$ 满足 $H \subset D$。因为 $D$ 是最小元，所以 $D \subseteq H$，结合 $H \subset D$ 可得 $D=H$，这就说明不存在严格包含于 $D$ 的元素在集合中，因此 $D$ 是极小元。

2. (b) ⇒ (c)：
   记 $I = \bigcap\left{E \leq K \mid F \leq E, R_f \subseteq E\right}$，显然 $I$ 包含于集合中的每一个元素，自然也包含于 $D$（因为 $D$ 属于这个集合）。又因为 $D$ 是极小元，而 $I$ 也是集合中的元素（它是子域的交集，仍是子域，且包含 $F$ 和 $R_f$），所以 $D \subseteq I$，从而 $D=I$。

现在卡住的地方：

• 对于 (c) ⇒ (d)，我已经证出 $F(R_f) \subseteq D$：因为每个包含 $F$ 和 $R_f$ 的子域 $L$ 都包含 $F(R_f)$，所以 $F(R_f)$ 包含于所有这样的 $L$ 的交集，也就是 $D$。但反向包含 $D \subseteq F(R_f)$ 不知道怎么证；
• 另外，(c) ⇒ (a) 的推导我也没头绪，想请教大家该怎么处理这两步？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tyson Bett