证明满足abc≠0且2a²≠b²时，由多元函数临界点导出的方程组仅有零解
首先，我们先明确问题背景：这组方程组是从三元函数$f_{a,b,c}(u,v,w)$的临界点条件（梯度为零）推导而来的，其中$T=-au-bv-cw$，且参数满足$abc≠0$、$2a²≠b²$。我们的目标是证明方程组只有零解$(u,v,w)=(0,0,0)$。
先把原方程组转化为更直观的比例形式：存在常数$k$，使得
$$
3(v+T)^2 - 2vT - (u^2 + v^2) = k
$$
同时$k$满足：
$$
k = -\frac{2vw}{c} = -\frac{T^2 + w^2 + 2vT}{b} = -\frac{2uT}{a}
$$
因为$abc≠0$，所以所有分母都不为零，我们分两种情况讨论：
情况1：$k=0$
此时三个等式简化为：
- $2vw = 0$
- $T^2 + w^2 + 2vT = 0$
- $2uT = 0$
子情况1.1：$v=0$
代入$T=-au-cw$到第二个等式，得到：
$$(-au - cw)^2 + w^2 = 0$$
平方项都是非负的，因此必须同时满足$(-au - cw)2=0$和$w2=0$，解得$w=0$，进而$au=0$。因为$a≠0$，所以$u=0$，即得到零解$(0,0,0)$。
子情况1.2：$w=0$（$v≠0$时，由$2vw=0$必然得$w=0$）
此时$T=-au-bv$，代入第三个等式$2uT=0$，分两种小情况：
- 若$u=0$，则$T=-bv$，代入第二个等式：
$$(-bv)^2 + 0 + 2v(-bv) = b²v² - 2b²v² = -b²v²=0$$
因为$b≠0$，所以$v=0$，同样得到零解。 - 若$T=0$，即$-au -bv=0$，得$u=-\frac{b}{a}v$。代入$k=0$的定义式$3(v+T)^2 -2vT -(u²+v²)=0$，化简得$2v² -u²=0$，即$u²=2v²$。把$u=-\frac{b}{a}v$代入得$\frac{b²}{a²}v²=2v²$，若$v≠0$则$b²=2a²$，这与题目条件$2a²≠b²$矛盾，因此只能$v=0$，进而$u=0$，还是零解。
情况2：$k≠0$
此时$k≠0$意味着$vw≠0$、$uT≠0$（所以$u≠0$），我们利用比例关系推导：
从$\frac{vw}{c}=\frac{uT}{a}$可得$T=\frac{a}{c}\cdot\frac{vw}{u}$，将其代入$T=-au-bv-cw$，两边乘$cu$整理得：
$$avw = -a²cu² - bcuv - c²uw \tag{1}$$
再从$\frac{2uT}{a}=\frac{T² +w² +2vT}{b}$，把$T=\frac{a}{c}\cdot\frac{vw}{u}$代入，化简后两边乘$c²u²$（因$u,w≠0$，可约去），最终整理得到关于$w$的表达式：
$$w = \frac{2cu v (b u - a v)}{a²v² + c²u²} \tag{2}$$
接下来把(2)代入$T=\frac{a}{c}\cdot\frac{vw}{u}$，得到$T$关于$u,v$的表达式，再代入$T=-au-bv-cw$，两边乘分母消去分式后，会得到一个关于$u,v$的三次齐次方程。结合方程组的齐次性（若$(u,v,w)$是解，则$(tu,tv,tw)$也是解），我们令$t=\frac{v}{u}$（$u≠0$），代入后得到关于$t$的三次方程。
此时再结合$k$的定义式，将$v=tu$、$w$和$T$的表达式代入，化简后会发现：这个三次方程只有在$b²=2a²$时才有非零解，而这又与题目条件矛盾。因此$k≠0$时不存在非零解。
结论
无论是$k=0$还是$k≠0$的情况，要么直接得到零解，要么推出与$2a²≠b²$矛盾的结果。因此在给定参数条件下，方程组仅有零解$(u,v,w)=(0,0,0)$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者cbi
