关于Tor函子消失性的疑问：若Torᵢᴿ(M,N)=0，是否所有j>i时Torⱼᴿ(M,N)=0？
首先回应你第一个关于Tor函子和正合性关系的理解：你说得完全对！Tor确实可以看作张量积正合性失败的“度量”。具体来说，当我们取M的一个投射（或自由）分解$P_\bullet \to M$，把函子$-\otimes_R N$作用上去得到复形$P_\bullet \otimes_R N$，这个复形的第i个同调群就是$\text{Tor}iR(M,N)$。如果$\text{Tor}_iR(M,N)=0$，就说明在复形的第i位，$\text{im}(d{i+1}\otimes N) = \text{ker}(d_i\otimes N)$，也就是原本投射分解里的正合性$P_{i+1} \to P_i \to P_{i-1}$在张量N之后依然保持正合，这正是你说的“第i个分辨率处正合性被保留”。
然后是你最关心的问题：不是的，$\text{Tor}_iR(M,N)=0$并不意味着所有$j>i$时$\text{Tor}_jR(M,N)$都为0。你举的例子里Tor在i>1时都消失，是因为这些模的投射维数都很小：比如$R/(x)$作为R-模，它的投射分解只需要两步（$0\to R\to R\to R/(x)\to0$），投射维数是1，所以当i>1时，投射分解里的$P_i$都是0，自然$\text{Tor}_i$也都是0。但如果模的投射维数更高，Tor函子完全可以在多个不同的i处非零，甚至出现“中间某个$\text{Tor}_i=0$，但后面的$\text{Tor}_j\neq0$”的情况。
举个直观的例子：取多项式环$R=k[x,y,z]$（k是域），把域k看作R-模（即$k=R/(x,y,z)$）。它的投射分解是经典的Koszul复形：
$$0 \to R \xrightarrow{(z,-y,x)} R^3 \xrightarrow{\begin{pmatrix} y & z & 0 \ -x & 0 & z \ 0 & -x & -y \end{pmatrix}} R^3 \xrightarrow{(x,y,z)} R \to k \to 0$$
现在把这个复形张量k，每个$R\otimes k=k$，$R^3\otimes k=k^3$，而所有映射都会变成0（因为x,y,z在k上的作用都是0）。此时复形的同调群就是：
- $\text{Tor}_0^R(k,k)=k$
- $\text{Tor}_1R(k,k)=k3$
- $\text{Tor}_2R(k,k)=k3$
- $\text{Tor}_3^R(k,k)=k$
- $\text{Tor}_i^R(k,k)=0$（i>3）
这里你能看到，Tor在i=0,1,2,3处都非零，直到i>3才消失，完全没有“一旦某个Tor_i=0，后面全为0”的规律。
再举一个更直接的反例，说明“Tor_i=0但后面Tor_j≠0”的情况：取局部环$R=k[[x,y]]$，构造一个R-模M，它的投射分解是：
$$0 \to R \xrightarrow{x} R \xrightarrow{y} R \xrightarrow{x} R \to M \to 0$$
现在取$N=R/(x)$，把分解张量N后，复形变成：
$$0 \to R/(x) \xrightarrow{0} R/(x) \xrightarrow{y} R/(x) \xrightarrow{0} R/(x) \to M\otimes N \to 0$$
计算它的同调：
- $\text{Tor}_1^R(M,N)=\text{ker}(y:R/(x)\to R/(x))/\text{im}(0)=0$（因为y在$R/(x)$中是单射，k是域，y不是零因子）
- $\text{Tor}_2^R(M,N)=\text{ker}(0:R/(x)\to R/(x))/\text{im}(y:R/(x)\to R/(x))=R/(x)/yR/(x)=k\neq0$
- $\text{Tor}_3^R(M,N)=\text{ker}(0:R/(x)\to R/(x))/\text{im}(0)=R/(x)=k\neq0$
这里$\text{Tor}_1=0$，但$\text{Tor}_2$和$\text{Tor}_3$都非零，直接推翻了“Tor_i=0则后面全为0”的猜想。
最后总结一下：
- Tor_i的消失确实对应投射分解张量N后第i位的正合性被保留；
- Tor_i的消失不代表后续所有Tor_j都消失，只有当M的投射维数≤i时，才会有j>i时Tor_j=0，否则Tor完全可能在多个位置非零，甚至出现“中间消失，后面又非零”的情况。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Instagram-creative_math_
