线性代数证明问询：如何完成Row A = Row AᵀA的证明

你已经走对路啦！把原问题转化为证明$\mathrm{Row}\ A = \mathrm{Row}\ A^TA$是完全正确的，接下来我们只需要证明两个子空间互相包含就行——这是证明子空间相等的标准操作，我来一步步帮你理清楚：

第一步：证明 $\mathrm{Row}\ A^TA \subseteq \mathrm{Row}\ A$ #

矩阵乘法的本质是行向量与列向量的线性组合，我们从$A^TA$的行向量入手分析：
$A^{TA$的第$i$行，其实是$A}T$的第$i$行左乘$A$得到的。而$A^{T$的第$i$行，正好是$A$的第$i$列的转置$\vec{v_i}}T$。

假设$A$的行向量是$\vec{r_1}, \vec{r_2},..., \vec{r_m}$，那么$\vec{v_i}$（$A$的第$i$列）的第$j$个分量就是$\vec{r_j}$的第$i$个元素。此时$\vec{v_i}^T A$展开后就是：
$$\vec{v_i}^T A = \vec{r_1}(i)\vec{r_1} + \vec{r_2}(i)\vec{r_2} +... + \vec{r_m}(i)\vec{r_m}$$
这显然是$A$的行向量的线性组合，所以$A^{TA$的每一行都属于$\mathrm{Row} A$。既然行空间是所有行向量的线性组合构成的集合，那么$\mathrm{Row} A}TA$自然是$\mathrm{Row}\ A$的子空间，也就是$\mathrm{Row}\ A^TA \subseteq \mathrm{Row}\ A$。

第二步：证明 $\mathrm{Row}\ A \subseteq \mathrm{Row}\ A^TA$ #

这一步我们可以借助零空间等价性来推导，先证明$\mathrm{Nul}\ A = \mathrm{Nul}\ A^TA$：

• 正向包含：如果$\vec{x} \in \mathrm{Nul}\ A$，那么$A\vec{x} = \vec{0}$，两边左乘$A^T$可得$ATA\vec{x} = \vec{0}$，所以$\vec{x} \in \mathrm{Nul}\ A^TA$，即$\mathrm{Nul}\ A \subseteq \mathrm{Nul}\ A^TA$。
• 反向包含：如果$\vec{x} \in \mathrm{Nul}\ A^{TA$，那么$A}TA\vec{x} = \vec{0}$，两边左乘$\vec{x}^T$得到：
  $$\vec{x}^T A^TA\vec{x} = (A\vec{x})^T(A\vec{x}) = ||A\vec{x}||^2 = 0$$
  向量的模长为0当且仅当它是零向量，所以$A\vec{x} = \vec{0}$，即$\vec{x} \in \mathrm{Nul}\ A$，因此$\mathrm{Nul}\ A^TA \subseteq \mathrm{Nul}\ A$。

结合两个方向，我们得到$\mathrm{Nul}\ A = \mathrm{Nul}\ A^TA$。而根据线性代数的核心结论：任意矩阵的行空间是其零空间的正交补，也就是$\mathrm{Row}\ M = (\mathrm{Nul}\ M)^\perp$对所有矩阵$M$成立。既然零空间相等，它们的正交补必然相等，因此：
$$\mathrm{Row}\ A = (\mathrm{Nul}\ A)^\perp = (\mathrm{Nul}\ A^TA)\perp = \mathrm{Row}\ A^TA$$

收尾：完成原命题证明 #

结合你之前的推导：$(\mathrm{Nul}\ A)^\perp = \mathrm{Row}\ A$，再加上我们刚证明的$\mathrm{Row}\ A = \mathrm{Row}\ A^{TA$，就能直接得出原命题$(\mathrm{Nul} A)}\perp = \mathrm{Row}(A^TA)$成立啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BranchPredictor4000