已知随机变量X的n阶矩表达式，求解X的分布

看起来你在计算矩生成函数（MGF）的时候有点小混淆，我来帮你梳理清楚~

首先，你给出的表达式$M_{X}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(3t)^{n}$其实是MGF的泰勒展开形式，而非直接对X所有可能取值求和的形式。我们先从这个展开式入手化简：

回忆经典的幂级数展开：

$\sum_{n=0}^{{\infty}(n+1)x}n = \frac{1}{(1-x)^2}$，该等式在$|x|<1$时成立

把$x=3t$代入后，你的MGF可以简化为：
$$M_X(t) = \frac{1}{(1-3t)^2}, \quad |t| < \frac{1}{3}$$

接下来我们对应到常见的概率分布：

• 这个MGF属于负二项分布的一种参数化形式，具体是参数$r=2$（代表需要达成的成功次数）、成功概率$p=\frac{1}{4}$的负二项分布，定义为“获得2次成功之前的失败次数”。
• 换个直观的角度，它也等价于两个独立同分布的几何分布（支持非负整数）的和——这两个几何分布的成功概率都是$\frac{1}{4}$，均值为3。

如果要直接推导概率质量函数（PMF），我们可以结合MGF的定义验证：从泰勒展开式$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{E[X}n]}{n!}t^n = \sum_{n=0}^{{\infty}(n+1)3}n t^{n$，可以得到X的n阶矩为$E[X}n]=(n+1)!3^n$，这和上述负二项分布的矩完全匹配。该分布的PMF为：
$$P(X=k) = (k+1)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)}k, \quad k=0,1,2,...$$
你可以自行验证，这个PMF的和为1，且其MGF的泰勒展开就是你给出的形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tas