关于由相邻点函数差之比的极限推导函数商的极限的充分条件及相关猜想验证

之前看到过这么一个结论：如果函数 $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ 在任意有限区间 $(a,b)$（其中 $a<b<+\infty$）上有界，并且满足 $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x+1)-f(x))=l$，那么可以推导出 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=l$。这个结论和Stolz-Cesaro定理的思路非常相似，也有相关的证明是借助Stolz-Cesaro定理完成的。

现在我想把这个结论推广到两个函数的情况：假设 $f,g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$，已知 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=l$，那么需要给 $f$ 和 $g$ 加上哪些充分条件，才能保证 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l$？

目前我知道一个足够强的条件：如果 $f$ 和 $g$ 都是实数域上的可微函数，并且 $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$，那么上面的结论成立。但这个条件实在太强了，肯定有更弱的替代条件，我想找到更一般的情况。

为此我自己提出了一个猜想：

若 $f$ 在任意有限区间 $(a,b)$（$a<b<+\infty$）上有界，同时 $g$ 是实数域上的连续递增函数，那么就能推出 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l$。

我尝试证明这个猜想，但没能成功，不过直觉上觉得它是对的。所以想请教各位：

• 这个猜想是否成立？
• 如果成立，有没有比这个更弱的充分条件？
• 如果不成立，那有没有比“$f,g$ 均可微且 $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$”更弱的充分条件？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie