能否直接从可测函数的定义证明其乘积的可测性？

咱们先简化讨论前提：我假设$f$和$g$都是实值的勒贝格可测函数。

之前有这么一个问题：

证明如果$f$和$g$都是可测函数，那么它们的乘积$fg$也是可测的（要求用函数的和与幂来表示乘积）。

这个问题用常规思路证起来并不难：利用等式$(f+g)^2 = f^2 + g^2 + 2fg$，再结合两个已知结论即可——(1) 只要$f$和$g$可测，它们的和$f+g$就可测；(2) 连续函数$x \mapsto x^2$与可测函数复合后，结果仍是可测函数。

不过我现在有个疑问：
问题：能不能不依赖上面这两个结论，直接从可测函数的定义出发证明$fg$是可测的？

补充说明：我使用的可测函数定义是：定义在可测域$E \subseteq \mathbb{R}$上的函数$f: E \to \mathbb{R}$，若对任意$a \in \mathbb{R}$，原像$f^{-1}((a, \infty))$都是可测集，则称$f$是可测函数。（等价定义也可以用形如$[a, \infty), (-\infty, a)$或者$(-\infty, a]$的区间的原像均为可测集来表述）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pyridoxal_trigeminus