关于Wolfgang Arendt《Heat Kernels》中定理4.3.3证明关键推导步骤的技术疑问

我现在在研读Wolfgang Arendt的《Heat Kernels》里定理4.3.3（第52页）的证明，打算基于这一章写一份更详实的报告，但卡在了标注**!!!**的那步推导上。我能复现大部分证明步骤，可那句“this shows”的论证逻辑完全摸不透。

我明白这部分和对偶空间、Banach伴随算子（公式$\langle Ax,x^\rangle = \langle x,A^*x\rangle$）有关，积分也得理解成$L^1(\Omega)* \cap L^{\infty(\Omega)}$中的函数（也就是$\langle x, x^\rangle$的形式），但就是理不清整个推导的脉络。

下面是原证明的相关段落：

设$S \in \mathcal{L}(L^1(\Omega))$为正算子，满足$\lVert S\rVert_{\mathcal{L}(L^1(\Omega))}, \lVert S\rVert_{\mathcal{L}(L^\infty(\Omega))} \leq M$。

我们需要证明存在唯一算子$T \in \mathcal{L}(L^\infty(\Omega))$，使得对所有$f \in L^1(\Omega) \cap L^{\infty(\Omega)$，有$T}*f = Sf$。随后令$S_\infty = T^{*$。$T$的唯一性容易验证。为证明其存在性，我们注意到假设蕴含$S(L}1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)) \subset L^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$，且对$p = 1, \infty$以及所有$f \in L^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$，有$\lVert Sf\rVert_{L^p(\Omega)} \leq M\lVert f\rVert_{L^p(\Omega)}$。

注意：函数$g \in L^{\infty(\Omega)$属于$L}1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$且$\lVert g \rVert_{L^1(\Omega)} \leq M$当且仅当
$$\lvert \int_\Omega g(x)\phi(x)dx \rvert \leq M\lVert \phi \rVert_{L^\infty(\Omega)}$$
对所有$\phi \in L^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$成立。(!!!) 这表明$S$的伴随算子$S^* \in \mathcal{L}(L^{\infty(\Omega))$保持$L}1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$不变，且对所有$f \in L^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$，有$\lVert S^*f\rVert_{L1(\Omega)} \leq M\lVert f\rVert_{L^1(\Omega)}$ (!!!)。

由$L^1(\Omega) \cap L^{\infty(\Omega)$在$L}1(\Omega)$中的稠密性，存在唯一算子$T \in \mathcal{L}(L^1(\Omega))$，使得对所有$f \in L^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$，有$Tf = S^*f$。这蕴含对所有$g \in L^1(\Omega) \cap L^{\infty(\Omega)$，有$T}*g = Sg$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Meta-chan