标准基在m维子空间上正交投影长度的存在性验证

设$e_1,\ldots,e_n$是$\mathbb{R}^n$中的标准基，假设标量$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$满足$0< \lambda_1,\ldots,\lambda_n\leq1$，且$\lambda_1^{2+\ldots+\lambda_n}2 = m$（其中$m$是不超过$n$的正整数）。是否总存在$\mathbb{R}^n$的一个$m$维子空间$W$，使得每个$e_i$在$W$上的正交投影长度都等于$\lambda_i$？

我试着换了个角度重构这个问题：如果取$W$的一组标准正交基$v_1,\ldots,v_m$，那么$e_i$在$W$上的正交投影可以表示为$\sum_{j=1}^{m}\langle e_i,v_j \rangle\cdot v_j$，而投影的长度则是：
$$\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{m}\langle e_i,v_j \rangle^2} = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{m}A_{ij}2}$$
这里的$A$是$n\times m$矩阵，它的列向量就是$v_1,\ldots,v_m$。

目前我已经解决了两种特殊情况：

• 当$m=1$时，直接取$v_1 = (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$就满足条件；
• 当$m=n-1$时，只需要取$W$作为$\text{span}{(\sqrt{1-\lambda_1^{2},\ldots,\sqrt{1-\lambda_n}2})}$的正交补空间即可。

这个问题的由来是我发现了一个有趣的结论：如果$l_1,\ldots,l_n$分别是$e_1,\ldots,e_n$在某个$m$维子空间上的正交投影长度，那么一定有$l_1^2+\cdots+l_n2 = m$。于是我就好奇，这个结论的逆命题是否也始终成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayden Chang