求证(3,k)幻方数量公式的方法咨询

Let $n,k\in\mathbb{N}.$ By a $(n,k)$ magic square, we mean a $n×n$ matrix containing non-negative integer entries such that the sum of entries of any given row or column is $k.$ Note that we don't need the diagonals to add up to $k.$ Prove that the number of $(3,k)$ magic squares is ${{k+4}\choose{4}}+{{k+3}\choose{4}}+{{k+2}\choose{4}}.$

我试过对$k$用归纳法，但好像行不通。后来我试着倒推，发现如果填好矩阵左上角的4个元素，剩下的元素就被唯一确定了——说不定公式里的4就是从这儿来的？不过这条思路我也没走太远。

除此之外，我还注意到$(2,k)$幻方的数量是$k+1$。另外，如果一个$(3,k)$幻方里某个位置是$k$，那它所在的行和列其他元素都必须是0，剩下的4个元素就构成一个$(2,k)$幻方。

公式看起来像是要用“星与条”（stars and bars）的方法，但我暂时没看出怎么用。

我目前就想到这些，该怎么解决这个问题呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aqualubix