求解满足特定三角函数三次方程的所有实数x

我最近碰到了这么一道棘手的题目，想求解所有实数$x$满足：

求所有$\mathbb{R}$中的$x$，使得$16\sin^3(x) -14\cos^3(x) = \sqrt[3]{\sin x\cos^8(x) + 7\cos^9(x)}$

我尝试过两边同时除以$\cos^3(x)$（这里需要先排除$\cos x=0$的情况，后续得单独验证），得到了简化后的式子：
$16\tan^3(x) -14 = \sqrt[3]{\tan x + 7 }$

通过观察，我一开始觉得$\tan x=1$是一个解，对应的$x=\frac{\pi}{4}$代入原方程确实成立，但之前搞错了方向，现在确认这个解是对的。不过我现在的问题是，不知道怎么找出这个方程的所有实数根。

另外我还想请教一下，能不能用单位根的方法来解决这个方程呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ABCDEFG user157844