关于Nomizu-Ozeki完备黎曼度量存在性论文中r函数Lipschitz性的证明问询

我最近在研读Nomizu和Ozeki的经典论文《The Existence of Complete Riemannian Metrics》（发表于1961年《Proceedings of the American Mathematical Society》第12卷第6期，页码889-891），试图理解其中构造完备黎曼度量的思路。

我大致理解核心思路是构造一个在流形“缺失点”附近趋于无穷的函数，从而通过共形变换得到完备度量。论文里定义了函数 $r:M \rightarrow \mathbb{R}$，它是满足开球 $\mathbb{B}(x,r) = {y\in M: d(x,y)<r}$ 相对紧的正实数的上确界，这里的距离函数 $d$ 由原流形 $M$ 上的黎曼度量诱导：
$$ d(x,y) = \inf {\int\sqrt{\langle\frac{dc}{dt},\frac{dc}{dt}\rangle}dt: c \text{ 是连接 } x \text{ 和 } y \text{ 的分段可微曲线} }. $$

我们可以假设 $r(x)$ 对所有 $x$ 都是有限的——否则流形本身已经是完备的，这一点我已经理解了。

之后通过单位分解选取一个可微函数 $w(x)$，满足对每个 $x\in M$ 都有 $w(x)>\frac{1}{r(x)}$，然后定义共形度量 $g'(x) = w(x)^2g(x)$。这部分推导我都能跟上，但卡在了证明函数 $r$ 关于原度量 $d$ 是Lipschitz连续的这一步，具体来说，我需要证明对所有 $x,y\in M$，都有：
$$ |r(x)-r(y)|\leq d(x,y) $$

有没有大佬能给我一些思路或者证明的提示？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enio de Sousa Santos