关于Pederson分析中命题4.5.10相关算子为0的疑问

先给大家看一下这个命题的图示：

[命题4.5.10内容展示]

下面是证明里我搞不懂的部分，已经高亮出来了：

[证明中困惑片段的高亮展示]

我现在卡在一个问题上：为什么这个等式对所有n都成立？我知道 $f_n(T) = \int_{\sigma(T)} f_n : dE$，但实在想不通，当取任意 $x \in \ker(\lambda I-f(T))$ 时，为什么 $f_n(T)x=0$。

我试着用这个结论去推导：
$$\lVert f_n(T)x \rVert^2 = \int_{\sigma(T)} f^2_n : d\mu_{x,x}$$
但就是看不出这个积分为什么等于0——我目前只知道对于谱的可测子集Y，$\mu_{x,x}(Y) = \langle E(Y)x,x \rangle$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Isochron