复数域下满足模长条件的方程组求解咨询

求解方程组：
$$x+y+z=1,\ xyz=1,\ |x|=|y|=|z|=1,\ x,y,z \in \mathbb{C}$$

你用极坐标表示的思路是完全可行的，这里可以结合模长为1的复数的核心性质——模长为1的复数的共轭等于它的倒数（即$\overline{z}=1/z$），来把问题推进下去：

1. 先对第一个方程取共轭：
   $$\overline{x} + \overline{y} + \overline{z} = \overline{1} = 1$$
   代入$\overline{x}=1/x$、$\overline{y}=1/y$、$\overline{z}=1/z$，得到：
   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$$
   通分后分子为$xy + yz + zx$，分母是$xyz$，而题目里已知$xyz=1$，所以直接可以推出：
   $$xy + yz + zx = 1$$

2. 现在我们得到了关于$x,y,z$的三个对称式：

   • $x + y + z = 1$
   • $xy + yz + zx = 1$
   • $xyz = 1$
     根据多项式根与系数的韦达定理，$x,y,z$就是三次方程$t^3 - t^2 + t - 1 = 0$的三个根。

3. 解这个三次方程：
   我们可以对其做因式分解：
   $$t^3 - t^2 + t - 1 = t^2(t-1) + 1(t-1) = (t^2 + 1)(t - 1) = 0$$
   解得三个根为$t=1$、$t=i$、$t=-i$。

4. 验证这三个根是否满足所有条件：

   • 和：$1 + i + (-i) = 1$，完全符合第一个方程；
   • 乘积：$1 \times i \times (-i) = 1 \times 1 = 1$，符合第二个方程；
   • 模长：$|1|=|i|=|-i|=1$，满足模长要求。

所以原方程组的所有解就是这三个复数的任意排列组合，比如$(x,y,z)=(1,i,-i)$、$(i,1,-i)$等，总共6组不同的有序解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_learner