关于正态分布概率P(|x-3| > 5)（X~N(2,6)）的求解咨询

没问题，我一步步给你拆解清楚这个问题～

首先先搞懂**|X-3|**的含义：这是绝对值表达式，代表随机变量X和数值3之间的距离。|X-3|>5就意味着X和3的距离超过5，翻译成数学不等式就是两种互斥的情况：

• X比3大5以上，也就是X > 3+5=8
• X比3小5以上，也就是X < 3-5=-2

所以P(|X-3|>5)其实就是这两个事件的概率之和：P(|X-3|>5) = P(X>8) + P(X<-2)

接下来我们一步步计算这个概率：

1. 明确正态分布的参数 #

已知X服从正态分布N(2,6)，这里要注意正态分布的标准记法是N(μ, σ²)：

• μ是均值，这里μ=2
• σ²是方差，这里σ²=6，所以标准差σ=√6≈2.449

2. 把非标准正态分布转化为标准正态分布（Z变换） #

标准正态分布是Z~N(0,1)，我们可以通过公式Z = (X - μ)/σ把X转化为Z，这样就能用标准正态分布表或者计算器查概率了。

计算P(X>8) #

代入Z变换公式：
Z₁ = (8 - 2)/√6 = 6/√6 = √6 ≈ 2.449
标准正态分布中，P(Z>a)=1 - Φ(a)（Φ是标准正态分布的累积分布函数，代表Z≤a的概率），所以P(X>8)=P(Z>2.449)=1 - Φ(2.449)

计算P(X<-2) #

同样代入Z变换公式：
Z₂ = (-2 - 2)/√6 = -4/√6 ≈ -1.633
标准正态分布是对称的，满足Φ(-a)=1 - Φ(a)，所以P(X<-2)=P(Z<-1.633)=Φ(-1.633)=1 - Φ(1.633)

3. 查标准正态分布表或用计算器得到数值 #

• Φ(2.449)≈0.9929，所以P(X>8)=1 - 0.9929=0.0071
• Φ(1.633)≈0.9488，所以P(X<-2)=1 - 0.9488=0.0512

4. 求和得到最终概率 #

把两个概率加起来：0.0071 + 0.0512 = 0.0583，也就是大约5.83%。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Milo