请求证明关于伽马函数的级数恒等式猜想

我从一份数学解答里发现，对于任意整数n，下面的级数恒等式是成立的：
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{kn^k}{(k+n)!} =\frac{1}{(n-1)!}$$

基于这个结论，我猜想对于任意x>0，下面的一般化公式同样成立：
$$\color{blue}{\sum_{k=1}^\infty \frac{kx^k}{\Gamma(k+1+x)}=\frac{1}{\Gamma(x)}}$$

我查过伽马函数相关的文献，没找到这个恒等式的记录——毕竟目前已知的$\frac{1}{\Gamma(x)}$展开式都比较复杂。另外，当x=1时，这个问题还有相关的讨论。

想请教各位，能不能帮我证明这个猜想？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amir