重心坐标重映射：生成三角形对偶图的距离转换技术问询

嘿，我明白你要做的是把三角形内的重心坐标点重映射成对偶图，核心要求是从重心$(1/3,1/3,1/3)$到任意边（比如$(1/2,0,1/2)$这类边上的点）的插值路径上取值全为0，最终得到那种深色“Y”形的效果对吧？结合你提到的RGB插值对比图，我来分享几个实用的思路：

一、直接构造满足条件的重映射函数 #

首先回忆下重心坐标的定义：三角形内任意点都能用$(u,v,w)$表示，满足$u+v+w=1$且$u,v,w\geq0$，三个分量分别对应三个顶点的权重。

你需要的映射函数$f(u,v,w)$得满足两个关键：

• 重心处有非零值（这样对偶图的中心区域能保留插值效果）
• 三角形任意边上的点代入后，$f$的值为0

最直接的构造就是利用重心坐标的乘积：

f(u, v, w) = u * v * w

这个函数完美契合需求：

• 边上的点至少有一个分量为0，所以$f=0$
• 重心处$f=(1/3)^3=1/27$，是整个三角形内的最大值
• 它的等值线正好是你要的“Y”形，从中心向三条边平滑衰减到0

如果想调整Y形的锐利度，还可以加个幂次参数：

f(u, v, w) = (u * v * w)^k  # k>0，k越大中心区域越集中，Y形边缘越锐利

二、RGB插值对比图的实现技巧 #

你提到的前后对比图可以这么做：

• 原三角形：直接把重心坐标的三个分量对应到RGB通道（比如$u→R, v→G, w→B$），就能得到色彩渐变的三角形
• 对偶图三角形：把原RGB值乘以刚才的$f(u,v,w)$，这样边上的颜色会被压暗到接近黑色，中心区域保留原有的彩色渐变，最终呈现出深色Y形的对偶效果

三、细分网格的替代方案 #

你说细分网格能解决这个问题，但其实不用细分也能直接通过函数计算实现：

• 对每个重心坐标点，直接计算$f(u,v,w)$的值
• 将原插值结果（比如颜色、标量值）和$f$相乘，就能得到对偶图的目标取值
• 如果想要更平滑的过渡，可以结合线性插值和这个函数，或者用样条曲线调整$f$的衰减节奏

补充：如果你的需求是生成对偶图的拓扑网格结构（而不只是颜色插值），那可以把原三角形拆成三个小三角形——以重心和三条边的中点为顶点，这就是对偶图的拓扑结构，再对每个小区域做插值就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chris Welch