关于“嵌入映射的像为嵌入子流形”证明中的计算疑问

我最近在理解这个定理的证明时遇到了两个细节问题，先把定理、关键证明步骤和我的疑问列出来，再逐一解答：

定理与证明关键步骤 #

定理 若$F : M \to N$是嵌入映射，则$F(M)$是$N$的嵌入子流形。

证明：任取$p \in M$。由于$F$是浸入，根据定理1（下文给出），存在$p$附近的图$(U,\varphi)$和$F(p)$附近的图$(V,\psi)$，满足$F(U) \subseteq V$，且对所有$x \in \varphi(U)$，有：
$$\psi\circ F \circ \varphi^{−1}(x) = (x; 0_{n−m})\tag{4}$$
通过平移可以假设$\varphi(p) = 0_m$，$\psi(F(p)) = 0_n$。取$\varepsilon > 0$使得$B_{\varepsilon}(0_m) \subseteq \varphi(U)$且$B_{\varepsilon}(0_n) \subseteq \psi(V)$，于是有：
$$B_{\varepsilon}(0_m) \times {0_{n-m}} \subseteq B_{\varepsilon}(0_n) \subseteq \psi(V)\tag{5}$$
因为$F:M\to F(M)$是同胚，所以$F(\varphi^{−1}(B_{\varepsilon}(0_m)))$在$F(M)$的子空间拓扑中是开集，因此存在$N$中的开集$W$使得：
$$F(\varphi^{−1}(B_{\varepsilon}(0_m))) =W\cap F(M) \tag{6}$$
由式(4)可得：
$$\psi(W\cap F(M)) = (\psi\circ F \circ \varphi^{−1})(B_{\varepsilon}(0_m))) \subseteq B_{\varepsilon}(0_m) \times {0_{n-m}}\tag{7}$$
令$\tilde {W}=W \cap \psi^{-1}(B_{\varepsilon}(0_n))$，则$(\tilde {W}, \psi|{\tilde W})$是$F(p)$附近的图，且有：
$$
\begin{align*}
\psi|{\tilde {W}}(\tilde{W} \cap F(M))
&= \psi|{\tilde{W}}( W \cap \psi^{-1}(B{\varepsilon}(0_n)) \cap F(M)) \
&=\psi (W \cap F(M)) \tag{8} \
&=B_{\varepsilon}(0_m)\times {0_{n-m}}\tag{9} \
&=\psi|{\tilde {W}}(\tilde {W})\cap (\Bbb R^{m}\times{0{n-m}})\tag{10}
\end{align*}
$$

我的疑问 #

1. 式(7)是不是有笔误？ 我觉得应该是等号“$=$”而不是包含“$\subseteq$”，因为后面从式(8)到式(9)似乎需要这个等号成立。
2. 最后一串等式我完全搞不懂，前面的结论应该要用到，但我看不明白：$\psi^{-1}(B_{\varepsilon}(0_n))$怎么在式(8)中消失了？怎么得到式(9)？又怎么从式(9)推到式(10)？

疑问解答 #

1. 关于式(7)的笔误问题

你观察得太准了！这里确实应该是等号，而不是包含关系。我们来验证一下：
根据式(6)，$W\cap F(M) = F(\varphi^{-1}(B_\varepsilon(0_m)))$，代入式(7)左边可得：
$$\psi(W\cap F(M)) = \psi\left(F(\varphi^{-1}(B_\varepsilon(0_m)))\right) = (\psi\circ F\circ \varphi^{-1})(B_\varepsilon(0_m))$$
再结合式(4)，$\psi\circ F\circ \varphi^{-1}(x) = (x, 0_{n-m})$对所有$x\in\varphi(U)$成立，而$B_\varepsilon(0_m)\subseteq\varphi(U)$，所以这个复合映射作用在$B_\varepsilon(0_m)$上的结果就是$B_\varepsilon(0_m)\times{0_{n-m}}$。因此式(7)的正确写法是：
$$\psi(W\cap F(M)) = (\psi\circ F \circ \varphi^{−1})(B_{\varepsilon}(0_m))) = B_{\varepsilon}(0_m) \times {0_{n-m}}\tag{7修正版}$$
这个等号正是后续推导式(9)的关键。

2. 关于最后一串等式的推导

我们一步步拆解每一步逻辑：

• 从第一步到式(8)：
  首先，$\tilde{W} = W \cap \psi^{-1}(B_\varepsilon(0_n))$，所以$\tilde{W}\cap F(M) = W \cap \psi^{-1}(B_\varepsilon(0_n)) \cap F(M)$。
  注意到$W\cap F(M) = F(\varphi^{{-1}(B_\varepsilon(0_m)))$，根据式(5)，$\psi(F(\varphi}{-1}(B_\varepsilon(0_m)))) = B_\varepsilon(0_m)\times{0_{n-m}} \subseteq B_\varepsilon(0_n)$，这意味着$W\cap F(M)$中的所有元素都在$\psi^{-1}(B_\varepsilon(0_n))$里，即$W\cap F(M) \subseteq \psi^{-1}(B_\varepsilon(0_n))$。
  因此$W \cap \psi^{-1}(B_\varepsilon(0_n)) \cap F(M) = W \cap F(M)$，而$\psi|_{\tilde{W}}$是$\psi$在$\tilde{W}$上的限制，作用在这个集合上自然等于$\psi(W\cap F(M))$，这就是式(8)的由来。

• 从式(8)到式(9)：
  直接用我们修正后的式(7)替换即可，$\psi(W\cap F(M)) = B_\varepsilon(0_m)\times{0_{n-m}}$，所以式(8)就变成了式(9)。

• 从式(9)到式(10)：
  先看$\psi|{\tilde{W}}(\tilde{W})$，因为$\tilde{W} = W \cap \psi^{-1}(B\varepsilon(0_n))$，所以$\psi(\tilde{W}) = \psi(W) \cap B_\varepsilon(0_n)$，也就是$\psi|{\tilde{W}}(\tilde{W})$。
  而$B\varepsilon(0_m)\times{0_{n-m}}$本身是$\mathbb{R}^m\times{0_{n-m}}$的子集，同时又包含在$B_\varepsilon(0_n)$中（式(5)），因此：
  $$B_\varepsilon(0_m)\times{0_{n-m}} = (\psi(W)\cap B_\varepsilon(0_n)) \cap (\mathbb{R}^m\times{0_{n-m}})$$
  右边正好就是$\psi|{\tilde{W}}(\tilde{W}) \cap (\mathbb{R}^m\times{0{n-m}})$，这就得到了式(10)。

补充背景定义与定理 #

嵌入子流形的定义

设$M$是$m$维光滑流形，$S\subset M$。若对每个$p\in S$，存在$M$中$p$附近的图$(U,\varphi)$，使得：
$$\varphi(U \cap S) = (\Bbb R^k \times {0_{m-k}}) \cap \varphi(U)$$
则称$S$是$M$的$k$维嵌入子流形。

用到的秩定理（单射微分情形）

定理1 设$M$是$m$维光滑流形，$N$是$n$维光滑流形，$F:M\to N$是光滑映射。若$p\in M$处的微分$dF_p$是单射，则存在$M$中$p$附近的图$(U,\varphi)$和$N$中$F(p)$附近的图$(V,\psi)$，满足$F(U)\subseteq V$，且对所有$x\in\varphi(U)$，有：
$$\psi\circ F \circ \varphi^{−1}(x) = (x, 0_{n−m})$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy