离散时间LTI系统最优有界输入序列存在的充要条件及输出可控性的充分性分析

首先明确问题场景：给定离散时间LTI系统，状态与输出方程为：
$$
x_{k+1} = Ax_k + Bu_k,\
y_{k} = Cx_k + Du_k
$$
其中$x_k\in\mathbb{R}^{{m}$、$y_k\in\mathbb{R}}{n}$、$u_k\in\mathbb{R}^{p}$分别为状态、输出、输入向量；系统矩阵$A$满足$\rho(A) < 1$（渐近稳定），初始状态$x_0 = 0$。$r_k\in\mathbb{R}^{n}$是有界输出参考序列，总跟踪误差定义为：
$$E(u) := \sum_{k=0}^{\infty}{||r_k - y_k||^2}$$
我们需要解决两个问题：一是存在有界输入序列$u^* := {u_k}_{k=0}^{\infty}$使$E(u)$最小的充要条件；二是判断输出可控性是否为充分条件。

一、最优有界输入序列存在的充要条件 #

我们可以从频域与时域两个维度来理解这个条件，核心是要让参考序列的跟踪需求能被有界输入满足，同时结合系统的渐近稳定特性：

1. 时域表述：有界参考序列$r_k$必须能表示为系统脉冲响应与某个有界序列的卷积。即存在有界序列${e_k}$，使得：
   $$r_k = \sum_{i=0}^{\infty} h_i e_{k-i}$$
   其中$h_i$是系统的脉冲响应（$h_0 = D$，$h_i = CA^{i-1}B$，$i\geq1$），且对应的输入序列${e_k}$有界。

2. 频域表述：假设$R(z)$是$r_k$的Z变换（因$r_k$有界，$R(z)$在单位圆外解析），则$U(z) = H(z)^{-1}R(z)$对应的序列$u_k$必须有界。这要求：

   • 系统传递函数$H(z) = C(zI - A)^{-1}B + D$在单位圆上的零点，不能与$R(z)$的极点重合；
   • $H(z)^{-1}R(z)$的所有极点都位于单位圆内（保证逆变换后的序列有界）。

简单来说，参考序列的频谱必须能被系统传递函数“覆盖”，不会因为系统的零点特性导致输入序列发散。

二、输出可控性是否为充分条件？ #

答案是否，输出可控性不是充分条件。

先回忆离散时间系统的输出可控性定义：对于任意有限时间$N$和任意目标输出$y_N$，存在输入序列$u_0,u_1,...,u_{N-1}$使得$y_N$达到目标值。但输出可控性是针对有限时间的输出可达性，而我们的问题是无限时间的跟踪误差最小化，且要求输入有界，二者的约束场景完全不同。

举个实际的反例：
考虑单输入单输出系统，$A=0.5$（渐近稳定），$B=1$，$C=1$，$D=1$，传递函数为$H(z) = \frac{z - 1}{z - 0.5}$。验证输出可控性：系统阶数$m=1$，输出可控性矩阵为$\text{rank}[D\ CB] = \text{rank}[1\ 1] = 1$，满足输出可控的要求。

现在取有界参考序列$r_k=1$（对所有$k$），计算理论最优输入的Z变换：
$R(z) = \frac{z}{z-1}$，则$U(z) = H(z)^{-1}R(z) = \frac{z - 0.5}{z - 1} \cdot \frac{z}{z - 1} = \frac{z(z - 0.5)}{(z - 1)^2}$

对$U(z)$做逆Z变换，得到输入序列$u_k = 0.5k$，这是一个无界序列。也就是说，理论上的最优输入是无界的，任何有界输入都无法让跟踪误差平方和达到最小值。这就说明，即使系统满足输出可控性，也可能不存在有界的最优输入序列。

本质上，输出可控性只保证了有限时间内的输出调节能力，却无法约束无限时间下输入序列的有界性——当参考序列的频谱与系统传递函数的零点特性冲突时，就会出现输入发散的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Benjamin Tennyson