关于对角矩阵极分解交换性及PU型极分解的疑问

嗨，我来帮你理清这些关于极分解的疑问～

1. 极分解其实有两种形式：UP和PU都存在 #

首先纠正一个认知：你说的两种形式都是合法的极分解，只是分右极分解和左极分解：

• 右极分解：任意矩阵A（实/复）都能写成 A = U P，其中U是酉矩阵（实矩阵对应正交矩阵），P是半正定Hermitian矩阵（实矩阵对应半正定对称矩阵）。这里的P是唯一的，等于 (A^H A)^(1/2)（A^H是共轭转置，实矩阵就是普通转置）；如果A可逆，U也是唯一的，等于 A P^{-1}。
• 左极分解：A也能写成 A = P U，这里的P是半正定Hermitian矩阵（等于 (A A^H)^(1/2)），U同样是酉矩阵，P唯一，可逆时U也唯一。

所以你一开始记错的PU形式是存在的，只是它是左极分解，而我们常说的标准极分解一般指右极分解（UP）。

2. 什么时候UP和PU相等？ #

你测试的矩阵里U@P和P@U相等，核心原因是U和P这两个矩阵可交换。针对对角矩阵的情况：
假设A是对角矩阵diag(d1, d2, ..., dn)，它的右极分解里：

• P是diag(|d1|, |d2|, ..., |dn|)（半正定对角矩阵）
• U是diag(d1/|d1|, d2/|d2|, ..., dn/|dn|)（酉/正交对角矩阵）

而对角矩阵之间的乘法天生是可交换的（两个对角矩阵相乘，结果还是对角矩阵，每个对角元是对应位置元素的乘积，顺序不影响结果），所以此时UP = PU。

不过要注意：不是所有矩阵的极分解都满足这个等式，只有当U和P可交换时才成立。比如非对称的可逆矩阵（比如A = [[1, 2], [0, 1]]），它的极分解里U和P就不可交换，此时UP≠PU。

另外你测试的那个三对角矩阵，它其实是实对称矩阵，实对称矩阵的极分解中，U和P都是对称矩阵，而且可以同时对角化，所以它们也能交换，这就是为什么你得到的A1和A2相等的原因。

3. 简单总结 #

• 极分解有两种形式：右分解UP和左分解PU，都是合理的，只是对应的P分别由A^H A和A A^H的平方根得到。
• 对角矩阵的极分解中，U和P都是对角矩阵，必然可交换，所以UP=PU；实对称矩阵（包括对角矩阵）的极分解也满足这个等式。
• 非对称且无法同时对角化的矩阵，极分解的U和P不可交换，此时UP≠PU。

附上你提供的测试代码：

import numpy as np
from scipy.linalg import polar
A= np.array([[-2, 1, 0, 0],
              [1, -2, 1, 0],
              [0, 1, -2, 1],
              [0, 0, 1, -2]])
U, P = polar(A)
print(U)
print(P)
A1 = U @ P
print(A1)
A2 = P @ U
print(A2)
are_equal = np.allclose(A1, A2)
print("Are matrix equal:", are_equal)

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Manu