关于不完全Γ函数比值在|z|=1时的渐近极限的求证

嘿，你猜的1/2完全正确！咱们来一步步拆解这个证明：

首先，当|z|=1时，|z|²=1，所以问题简化成求$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\Gamma(n,n)}{\Gamma(n)}$。先回忆下完全Γ函数和不完全Γ函数的关系：$\Gamma(n) = \Gamma(n,n) + \gamma(n,n)$，其中$\gamma(n,n)$是下不完全Γ函数，定义为$\gamma(n,n)=\int_0^n t^{n-1}e{-t}dt$。所以我们的目标比值可以写成$1 - \frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)}$，只要证明$\frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)}$的极限是1/2，就能得到原比值的极限是1/2。

接下来核心思路是用正态近似来分析积分：

• 被积函数$t^{n-1}e{-t}$的“峰值”位置在哪里呢？对它取对数求导找最大值：
  $\frac{d}{dt}[(n-1)\ln t - t] = \frac{n-1}{t} - 1$，令导数为0，得到$t=n-1$，当n很大时，这个峰值非常接近$t=n$。
• 我们做变量替换：令$s = \frac{t - n}{\sqrt{n}}$，也就是$t = n + s\sqrt{n}$，把变量标准化后方便分析。把这个代入被积函数，取对数并用泰勒近似（n很大时，$1/\sqrt{n}$是小量）展开：
  $\ln(t^{n-1}e{-t}) = (n-1)\ln(n+s\sqrt{n}) - (n+s\sqrt{n})$
  展开$\ln(n+s\sqrt{n}) = \ln n + \ln(1 + s/\sqrt{n}) ≈ \ln n + \frac{s}{\sqrt{n}} - \frac{s^2}{2n}$
  代入后整理，忽略掉n→∞时的高阶小项，最终得到：
  $\ln(t^{n-1}e{-t}) ≈ n\ln n - n - \frac{s^2}{2} - \ln n$
  取指数后，被积函数近似为：
  $t^{n-1}e{-t} ≈ n^{n-1}e{-n}e^{-s2/2}$
  同时，$dt = \sqrt{n}ds$。

现在看$\gamma(n,n)$的积分范围：t从0到n，对应s从$\frac{0-n}{\sqrt{n}}=-\sqrt{n}$到0，所以：
$\gamma(n,n) ≈ \int_{-\sqrt{n}}^0 n^{n-1}e{-n}e^{-s2/2} \cdot \sqrt{n} ds$

再用斯特林公式近似完全Γ函数：$\Gamma(n)=(n-1)! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$，当n→∞时，这个近似的误差可以忽略。

现在计算比值$\frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)}$：
把上面的近似代入，分子分母里的$n^{n-1}e{-n}$和$\left(\frac{n}{e}\right)^n$可以约掉，剩下的部分化简后，就变成了标准正态分布的积分：
$\frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)} \sim \frac{\int_{-\sqrt{n}}^0 e^{-s2/2} ds}{\sqrt{2\pi}}$

当n→∞时，$-\sqrt{n}$趋向于-∞，而标准正态分布从-∞到0的积分正好是1/2，所以$\frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)} \rightarrow \frac{1}{2}$。

那原比值$\frac{\Gamma(n,n)}{\Gamma(n)} = 1 - \frac{\gamma(n,n)}{\Gamma(n)}$，自然就趋向于$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$了。

另外，如果你想更精确一点，这个比值的渐近展开首项就是1/2，后面还有$\frac{1}{3\sqrt{2\pi n}}$这样的小项，但极限确实是1/2。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BigJohnJohn