识别概率密度函数所属分布并求解累积分布函数

嘿，这个问题我刚好能帮到你！你给出的PDF $$f(x) = \dfrac12e^{-|x|}$$ 其实是**拉普拉斯分布（也叫双指数分布）**的概率密度函数，它是一种关于原点对称的分布，相比正态分布，它的尾部更厚，常用来建模那些有突发极端值的数据场景。

接下来咱们一步步推导它的累积分布函数（CDF）。累积分布函数的定义是 $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$，因为PDF里有绝对值，所以得分两种情况计算：

• 当 $x < 0$ 时，积分区间里的 $t$ 都是负数，$|t| = -t$，所以积分变为：
  $$F(x) = \int_{-\infty}^x \dfrac12e^{t}dt = \dfrac12e^{x}$$

• 当 $x \geq 0$ 时，积分需要拆成两部分：从负无穷到0，再从0到x：
  $$F(x) = \int_{-\infty}^0 \dfrac12e^{t}dt + \int_{0}^x \dfrac12e^{-t}dt$$
  先算第一部分：$\int_{-\infty}^0 \dfrac12e^{t}dt = \dfrac12$
  再算第二部分：$\int_{0}^x \dfrac12e^{-t}dt = \dfrac12(1 - e^{-x})$
  把两部分加起来，得到：
  $$F(x) = \dfrac12 + \dfrac12(1 - e^{-x}) = 1 - \dfrac12e^{-x}$$

最后把CDF整合成分段函数的形式就是：
$$F(x) =
\begin{cases}
\dfrac12e^{x} & x < 0 \
1 - \dfrac12e^{-x} & x \geq 0
\end{cases}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Savannah Liu