关于分数x=m/2ⁿ（m为奇数）的二进制双表示形式的疑问及解释请求

有人能简单解释下这段文字的意思吗？我的理解是，如果x=m/2ⁿ且m为奇数，那么x可以用两种二进制形式表示？但这怎么可能呢？我试了1/2，0.5怎么能表示成0.1和0.0111…呢？

哈哈，这个问题其实是浮点数表示里经典的“二进制有限小数的双重表示”现象，我刚学的时候也懵过！

先给你掰明白为什么0.5会有两种二进制写法：

• 第一种是你熟悉的有限二进制小数：0.1₂，这个直接对应1/2，没毛病。
• 第二种是无限循环二进制小数：0.0111…₂，你可以算一下这个循环的和：0*(1/2) + 1*(1/4) + 1*(1/8) + 1*(1/16) + ... 这是个等比数列，首项a=1/4，公比r=1/2，求和公式是a/(1-r) = (1/4)/(1-1/2) = 1/2，结果也是0.5！

那为什么只有当x=m/2ⁿ且m是奇数的时候才会有这种双重表示呢？
其实本质是：这种分数是有限二进制小数，而在二进制里，任何有限小数都可以写成一个无限循环的“尾1循环”形式，就像十进制里0.1=0.0999…一样，只是十进制里我们不常用，但二进制里这个现象在浮点数存储时会被用到。

举个更直观的例子，比如3/4（也就是0.75），m=3是奇数，n=2：

• 有限表示：0.11₂
• 无限循环表示：0.10111…₂，算一下：1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8)+1*(1/16)+... = 1/2 + (1/8)/(1-1/2) = 1/2 + 1/4 = 3/4，完全相等！

总结一下：

• 当x是形如m/2ⁿ（m奇数）的分数时，它既是有限二进制小数，又可以写成一个无限循环的二进制小数（最后一位减1，后面跟无限个1）
• 这两种表示在数值上是完全相等的，就像十进制里0.1和0.0999…是同一个数一样，只是写法不同

是不是一下子就懂了？😉

备注：内容来源于stack exchange，提问作者さまVipul