关于扩充复平面中$X\cup\{\infty\}$连通性充要条件的证明问询

我正在尝试证明一个定理（目前不确定它是否正确）：

扩充复平面$\overline{\mathbb{C}}$中的集合$X\cup{\infty}$是连通的，当且仅当$\mathbb{C}$中$X$的所有连通分支都是无界的。

这个问题是我在阅读Ahlfors L.V.的《复分析》（Complex Analysis）中关于单连通域的定义时产生的。

目前我已经完成了其中一个方向的证明：当$X$的所有连通分支都是无界时，$X\cup{\infty}$在$\overline{\mathbb{C}}$中是连通的。但反过来的推导完全没有思路，不知道该从哪里切入。

如果有大佬能帮忙解答这个问题，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wxw030910