关于模p下互素整数a,b满足a^(2ⁿ)+b^(2ⁿ)≡0时2^(n+1)整除p-1的证明求助

问题描述 #

设$a$和$b$是互素整数，$p$是素数，且存在$n\in\mathbb{N}$使得：
$$a^{2n} + b^{2n} \equiv 0 \pmod{p}$$
证明$2^{n+1}\mid p-1$。

我的尝试 #

我想到先考虑乘法群$G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$，这个群是循环群，阶数正好是$p-1$。

从题目条件出发，我推导出：
$$a^{2n} \equiv -b^{2n} \pmod{p}$$
两边同时平方的话，就能得到：
$$a^{2{n+1}} \equiv b^{2{n+1}} \pmod{p}$$
因为$G$是循环群，我设它的生成元是$g$，那$a$和$b$都可以表示成$g$的幂次，也就是存在整数$k,m$，使得$a = g^k$，$b = g^m$。把这两个代入上面的式子，就有：
$$(g^k){2^{n+1}} \equiv (g^m){2^{n+1}} \pmod{p}$$
整理一下就是：
$$(g^{k-m}){2^{n+1}} \equiv 1 \pmod{p}$$
根据循环群的性质，生成元$g$的阶是$p-1$，所以$p-1$必须整除$(k-m)2^{n+1}$。

不过到这一步我就卡壳了，不确定这个思路到底对不对。我感觉拉格朗日定理应该能用上，但不知道怎么构造一个阶为$2^{n+1}$的子群来辅助证明。有没有大佬能给点提示或者帮我继续往下推呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Moxy