关于无限集去掉有限子集后基数相等的证明疑问

先给大家说下原问题：

设$S$是无限集，$A\subset S$是有限集，证明$|S| = |S\setminus A|$

下面是给出的标准证明：

原证明内容 #

令$A = {s_1,\ldots s_n}$。因为$S$是无限集，所以$S\setminus A$肯定非空。先随便选一个$s_{n+1}\in S\setminus A = S\setminus {s_1,\dots, s_n}$。接着，$S\setminus {s_1,\dots , s_{n+1}}$也不会是空集，我们再选$s_{n+2}\in S\setminus {s_1,\ldots, s_{n+1}}$。就这样一直归纳下去，不管$m$是大于等于$n$的哪个数，我们都能构造出$s_{m+1}\in S\setminus {s_1,\dots, s_m}$。

然后定义映射$f : S\to S\setminus A$：对每个$i$，让$f (s_i) = s_{i+n}$；如果$x$不在${s_1, s_2,\ldots}$这个集合里，那$f(x)=x$。按照构造，这个$f$既是单射又是满射，所以$|S|=|S\setminus A|$。

我能看懂的类似具体例子 #

其实类似的例子我是能完全理解的，比如证明$(0,1)$和$[0,1]$基数相等时，用的映射是：
$$f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{10} & \text{当 } x = 0, \
\frac{1}{100} & \text{当 } x =1.\
\frac{1}{10^{n+2}} & \text{当 } x=\frac{1}{10^n}.\
x, & \text{其他情况}
\end{cases}$$
这里的思路很清晰，$[0,1]$是不可数无限集，我们可以从中拆出一个可数的无限序列，然后把这个序列里的元素递归地往后挪，其他元素保持不动，这样就能构造出双射了。

我的疑惑点 #

但回到原问题，我就有点懵了：原问题里只说$S$是无限集，没说它是不是可数的啊，那原证明里定义的那个映射到底是怎么工作的？

我自己试了个具体的例子：让$S=\mathbb{N}$（自然数集），$A={1,\ldots,10}$，按照原证明的映射定义，好像这个$f$根本不是单射？另外还有个地方我搞不懂：原问题里$A$明明是有限集，怎么证明里突然出现了$S\setminus {s_1,s_2,\ldots}$这种表述，感觉好像$A$变成无限集了？这一点实在想不通。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LJNG