关于Glasser 2013年《A remarkable Definite Integral》中积分式的求解问询

最近被Glasser 2013年的论文《A remarkable Definite Integral》里的问题难住了😅

从论文的公式(3)出发，当我代入$a=1$时，得到了下面这个积分：

$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{{\infty}\frac{2e}{-(x^2+i\pi x)t}}{e^x+e{-x}}dx=\pi e^{-\frac{\pi2}{4}t}
\end{align}
$$

但我到这里就卡壳了，完全不知道接下来该用什么技巧来求解这个积分。有没有大佬能给点思路提示呀？

编辑补充：感谢评论区的提醒，我之前把$\cosh x$转换成$e^x+e{-x}$的时候，忽略了$\frac{i\pi}{2}$这个极点的可能性，这可能把自己的思路限制住了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathArt