关于级数展开法求解非线性PDE的存在性理论、收敛性优化及替代展开方法的问询

我正在求解定义在区间 $0 \leq t \leq 1$ 和 $0 \leq x \leq x_{max}$ 上的非线性偏微分方程（PDE），其具体形式为：
$$4t(1-t)U_t(x,t)=U_{xx}(x,t)+2xU_x(x,t)-4t[U(x,t)^2-U(x,t)]$$

我尝试用幂级数展开的形式来寻找解：
$$U(x,t)=u_0(x) + u_1(x)t + u_2(x)t^2 + ...$$

这个PDE配有简单的两点Dirichlet边界条件：
$$U(0,t)=0, U(x_{max},t)=1$$
同时还有已知的初始条件。通过展开处理，我得到了一组关于函数 $u_i(x)$ 的两点边值问题（BVP），数值求解这些BVP后，结果看起来是合理的，但当 $t$ 趋近于1时，这个级数的收敛速度非常慢。

我有几个疑问希望得到解答：

• 是否有相关的数学理论可以说明这类级数解的存在性？
• 如果上述围绕 $t=0$ 的展开方式不合适，还有哪些替代的展开方法可以尝试？
• 我尤其想了解，当 $t$ 趋近于1时，原展开（围绕 $t=0$）收敛性差甚至可能不收敛的情况下，如何构造出准确且收敛快速的展开式？

我自己尝试过围绕 $t=1$ 做展开：
$$U(x,t)=v_0(x) + v_1(x)(1-t) + v_2(x)(1-t)^2 + ...$$
但奇怪的是，只有前两项的结果和实际解吻合，我搞不懂这是为什么。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leszek