完全图中嵌入所有着色完美匹配的最大颜色数

给定整数 $n>1$，我一直在找最大的颜色数 $k$，使得存在一种对 $2n$ 个顶点的完全图的边进行 $k$ 着色的方式，满足所有可能的 $k$ 着色完美匹配都能在这个着色完全图中找到对应的副本。

举几个已知的结论和观察：

• 我们知道，2着色的完美匹配一共有 $(n+1)$ 种。
• 另一方面，完全图可以分解为 $(2n-1)$ 个互不相交的完美匹配（参考Wallis《1-factorizations》里的定理3.2），这说明 $k>1$ 是肯定可行的。
• 但如果尝试用 $(2n-1)$ 种颜色——也就是给每个分解出来的完美匹配分配专属颜色，来覆盖所有单色完美匹配的需求——这时会发现，那种包含 $(n-1)$ 条颜色1的边和1条颜色2的边的完美匹配，在这个着色图里根本找不到。所以显然 $k<2n-1$。

现在的问题是：我们能不能改进这些上下界？

编辑：这个问题比我最开始想的要难很多，所以我先把问题缩小范围：

请证明或者推翻 $k=\omega(1)$（意思是随着 $n$ 增大，$k$ 会趋向无穷大）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matija