可唯一表示为两个平方数之和的正整数的判定猜想验证问询

什么数能被唯一表示为两个平方数之和？

我之前研究过一类正整数序列，这些数都能被唯一表示为两个平方数之和。从序列的前几项来看：1、2、4、8、16、32、64、128，很容易推测所有形如$2^s$（其中$s$是正整数或0）的数都满足这个唯一表示的条件。

另外，形如$4k+1$的质数（比如5和13）也在序列里，但有意思的是$5^2$和$132$却不在。这似乎说明，对于这类$4k+1$型质数$p$，只有当指数$s=0$或1时，$p^s$才有唯一的平方和表示。

再仔细看序列，$3^2$、$72$、$11^{2$这些数也在里面，所以我猜想：如果$q$是形如$4k+3$的质数，那么$q}2$能被唯一表示为两个平方数之和。更进一步，我觉得只要$d$的所有质因数都是$4k+3$型的，那么$d^2$也满足唯一表示的条件——这个结论的理由我后面会提到。

还有，上述三种情况的乘积也在序列里，比如$2^2 \cdot 5$、$2 \cdot 5 \cdot 3^2$、$2 \cdot 7^2$这些例子。

我的猜想 #

一个正整数$n$能被唯一表示为两个平方数之和，当且仅当$n=2^s d^2 p^{e_1}$，其中：

• $s$是正整数或0；
• $d=1$，或者$d$的所有质因数都是$4k+3$型质数；
• $p$是$4k+1$型质数，且$e_1 \in {0,1}$。

我们知道，一个数能表示为两个平方数之和的充要条件是它可以写成$2^s t^2 l$的形式，其中$s$是正整数或0，$l$是无平方因子的正整数且所有质因数都是$4k+1$型的。所以我猜想里的$n$肯定满足“能表示为两个平方数之和”这个前提，现在只需要验证唯一性。

用高斯整数$\mathbb{Z}[i]$来研究这个问题会更自然。比如，如果$n=a^2+b2=(a+ib)(a-ib)=\pi_1\cdots\pi_k \cdot \overline{\pi_1}\cdots\overline{\pi_k}$（这里是$n$在高斯整数里的素因子分解），那么交换某个$\pi_j$和它的共轭$\overline{\pi_j}$，得到的乘积$(\pi_1\cdots\overline{\pi_j}\cdots\pi_k)(\overline{\pi_1}\cdots\pi_j\cdots\overline{\pi_k})$通常会对应$n$的另一种平方和表示——不过这种情况只有当$\pi_j \neq \overline{\pi_j}$，且至少还有另一个$\pi_i \neq \overline{\pi_i}$时才会发生。

而我猜想里的那些数，恰好不会出现这种能交换共轭因子产生新表示的情况，这让我觉得它们就是所有满足唯一表示条件的数。

我的疑问 #

我的这个猜想是对的吗？还是说我漏掉了其他满足条件的数？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者huh