关于勒贝格可测函数与可逆线性变换/C¹微分同胚的复合的勒贝格可测性证明问询

Hey there! Let's break down these two related measurability problems step by step, building on the intuition you already have about Borel measurable functions.

问题1：勒贝格可测函数与可逆线性变换的复合的可测性 #

已知 $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} $ 是勒贝格可测函数，$T\in Gl(n,\mathbb{R})$（即$\mathbb{R}^n$上的可逆线性变换），我们需要证明 $f\circ T$ 也是勒贝格可测的。

你提到波莱尔可测函数的情况很容易证明，这个思路完全正确——可逆线性变换是连续函数（自然也是波莱尔可测的），而波莱尔可测函数的复合依然保持波莱尔可测性。针对勒贝格可测的情况，我们要用到勒贝格测度是波莱尔测度的完备化这个核心性质：

• 回忆一下：任何勒贝格可测集 $E$ 都可以分解为 $E = B \cup N$，其中：
  • $B$ 是 $F_\sigma$ 型集（属于波莱尔集类），
  • $N$ 是一个零测集，且存在波莱尔零测集 $F$ 使得 $N \subset F$。

接下来我们分析任意波莱尔集 $A \subset \mathbb{R}$ 的原像 $(f\circ T)^{-1}(A)$：

1. 根据复合函数的逆运算性质，$(f\circ T)^{-1}(A) = T^{-1}(f{-1}(A))$。
2. 因为 $f$ 是勒贝格可测的，所以 $f^{-1}(A)$ 是勒贝格可测集，我们可以将其写成 $f^{-1}(A) = B \cup N$（符合上面的分解形式）。
3. 代入后得到 $T^{-1}(f{-1}(A)) = T^{-1}(B) \cup T^{-1}(N)$。
4. 可逆线性变换是同胚映射，所以 $T^{-1}$ 会把波莱尔集映射为波莱尔集，因此 $T^{-1}(B)$ 是波莱尔集（自然也是勒贝格可测的）。
5. 可逆线性变换对测度有缩放作用：对任意可测集 $E$，$m(T(E)) = |\det T| \cdot m(E)$，所以零测集在 $T^{-1}$ 下的像依然是零测集：$m(T^{-1}(N)) \leq m(T^{-1}(F)) = \frac{1}{|\det T|} \cdot m(F) = 0$，因此 $T^{-1}(N)$ 是零测集（勒贝格可测）。
6. 两个勒贝格可测集的并集还是勒贝格可测集，所以 $T^{-1}(f{-1}(A))$ 是勒贝格可测集。由于该结论对所有波莱尔集 $A$ 都成立，$f\circ T$ 是勒贝格可测函数。

问题2：勒贝格可测函数与C¹微分同胚的复合的可测性 #

已知 $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} $ 是勒贝格可测函数，$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是 $C^1$ 微分同胚，我们需要证明 $f\circ T$ 也是勒贝格可测的。

这个问题的证明思路和第一个问题几乎一致，只需要调整对 $C^1$ 微分同胚性质的利用：

• $C^1$ 微分同胚是同胚映射，所以 $T^{-1}$ 同样会把波莱尔集映射为波莱尔集，这一点和可逆线性变换一致。
• 关键性质：$C^1$ 微分同胚是局部李普希茨连续的（因为其导数连续，在紧集上必有界），而李普希茨映射不会将零测集映射为正测集（这是勒贝格测度的重要性质）。

具体证明步骤：

1. 对任意波莱尔集 $A \subset \mathbb{R}$，有 $(f\circ T)^{-1}(A) = T^{-1}(f{-1}(A))$。
2. $f^{-1}(A)$ 是勒贝格可测集，将其分解为 $B \cup N$（$B$ 是波莱尔集，$N$ 是零测集且 $N \subset F$，$F$ 是波莱尔零测集）。
3. $T^{-1}(B)$ 是波莱尔集（勒贝格可测）。
4. $T^{-1}$ 也是 $C^1$ 微分同胚，因此是局部李普希茨连续的，所以 $m(T^{-1}(N)) \leq m(T^{-1}(F)) = 0$，即 $T^{-1}(N)$ 是零测集（勒贝格可测）。
5. 两个勒贝格可测集的并集依然可测，因此 $f\circ T$ 是勒贝格可测函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jay sri krishna