零空间包含关系Null(A)⊂Null(BA)的验证方法及维度疑问

嘿，我来帮你理清楚这个零空间包含关系的问题，还有你提到的维度疑问~

一、怎么证明Null(A) ⊆ Null(BA)？ #

其实你不用绕到线性组合的思路里，直接从零空间的定义出发推导就非常清晰，步骤很简单：

1. 先取任意一个向量 ( x \in \text{Null}(A) )，根据零空间的定义，这个向量满足 ( A x = 0 )；
2. 现在看 ( BA x )，把它拆成 ( B(Ax) )，代入 ( Ax=0 )，就得到 ( B(0) = 0 )；
3. 这就说明 ( x ) 满足 ( BA x = 0 )，也就是 ( x \in \text{Null}(BA) )。

因为我们取的是Null(A)里的任意向量，都能推出它在Null(BA)里，所以直接就能得出 ( \text{Null}(A) \subseteq \text{Null}(BA) )。你之前尝试线性组合的思路可能走偏了，这个问题用定义直接证是最直接的路径~

二、关于符号⊂和⊆的疑问，以及维度是否相同？ #

首先说符号：用⊆（子集）比⊂（真子集）更准确，因为Null(A)和Null(BA)是有可能完全相等的。举个例子，如果B是可逆矩阵，那么 ( BA x = 0 ) 等价于 ( A x = 0 )（两边同时左乘 ( B^{-1} ) 就能推出来），这时候 ( \text{Null}(A) = \text{Null}(BA) )，显然不是严格的真子集关系。

然后是维度：两者的维度不一定相同，但必然满足 ( \dim(\text{Null}(A)) \leq \dim(\text{Null}(BA)) )，因为前者是后者的子集。给你两个具体例子：

• 情况1：B可逆时，维度相等。比如 ( A = \begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix} )，( B = \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} )（可逆矩阵），此时 ( \text{Null}(A) = { (0,t) \mid t \in \mathbb{R} } )，( BA = \begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix} )，所以 ( \text{Null}(BA) ) 和Null(A)完全一样，维度都是1。
• 情况2：B是零矩阵时，维度不等。还是用上面的A，B取零矩阵 ( \begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix} )，那么 ( BA ) 也是零矩阵，此时 ( \text{Null}(BA) = \mathbb{R}^2 )（所有二维向量都满足零矩阵乘它等于0），而Null(A)的维度是1，明显小于Null(BA)的维度2。

简单来说，只有当B在A的列空间上是“单射”（比如B可逆）的时候，Null(A)和Null(BA)的维度才会相等；否则Null(BA)的维度会更大。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ssj